近世代数课后习题作业 3 参考解答
2.证明:由
,
对
有
。从而对
,
。
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3.证明:设
,
为群。其乘法表为:
验证交换性只须验证乘法表中的矩阵的对称性即可,即只须验证:
1)ab 与 ba:显然
,故
若
,即 a 与 b 互逆,则必有
,从而 ab=ba;
若
,则
,否则若
,则必有
,从而
矛盾。
综上 ab=ba。
同理可得:ac=ca,bc=cb。
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4.证明:设
为非交换群,且
(注:不一定为有限群),只须找到元
素
,且
即可。
即只须在
中找到一个元素,其阶大于 2 即可。若
中不存在这样的元素,即对
均有
,则由前面 2 题的结论知
为交换群,矛盾。故
,其
阶大于 2,即
,从而令
,显然有
,但
。
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5.证明:设
为有限群,
,对
,若
的阶为
且
,即
,
则
的阶也为
(参见课堂上的思考题结论),即
,且
,从而
阶大于 2 的元素成对出现,故阶大于 2 的元素个数必为偶数。
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6.证明:设
为有限群,
,设元素阶为 2 的个数为
,元素阶大于
2 的个数为
,元素阶为 1 仅有单位元,则有:
,所以
必为奇
数。
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