近世代数课后习题作业41
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2022-08-03
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近世代数课后习题作业 4
1．设
R
是全体实数之集，
},0,,)(,:{ RbaRxbaxxfRRffG
。
试证：
G
是一个变换群。
2．设
R
是一切正实数之集，
R
为一切实数之集。
),(
R
，
),( R
是群。令
RR
:
，
Rx
，
xx
p
log)(
，其中
p
是正数。证明：
是同构。
3．证明：
n
次单位根之集对复数的乘法构成一个循环群。
4．找出模 12 的同余类加群的所有真子群。
5．设
)(aG
是一个
n
阶循环群。证明：如果
1),( nr
，则
Ga
r
)(
。
6．假定群
G
的元素
a
的阶为
n
，
dnr ),(
，证明：
r
a
的阶为
dn
。
7．证明：六阶群里必有一个三阶子群。
8．设
p
是一个素数。证明：在阶为
m
p
的群里一定含有一个
p
阶子群，其中
1m
。
9．在三次对称群
3
S
中，找一个子群
H
，使得
H
的左陪集不等于
H
的右陪集。
10．设
H
是
G
的一个子群，如果左陪集
aH
等于右陪集
Ha
，即
HaaH
，则
haahHh ,
一定成立吗？
11．证明讲义文件 2-6 中的定理 6。
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