《近世代数引论》部分习题答案

《近世代数引论》是冯克勤和李尚志编著的一本代数学教材，其中详细介绍了近世代数的基础理论与概念。近世代数是数学的一个分支，主要研究群、环、域等代数结构的性质和运算规律。该书的习题部分旨在帮助读者加深对理论知识的理解和应用能力。 在群论部分，书中介绍了群的基本定义和性质。群是代数结构的一种，它由一组元素以及定义在这些元素上的一个二元运算组成，满足封闭性、结合律、存在单位元以及每个元素都有逆元这四个条件。题目81.1集合论预备知识中，通过实例说明了等价关系的三个基本条件：自反性、对称性和传递性是互相独立的，即缺少任何一个条件都不能推出其他条件。 在习题81.2中，讨论了群的概念，并求解有理数加群的自同构群Aut(Q+)。自同构是指保持群结构不变的映射。有理数加群的自同构实际上只包括了一个非零有理数的乘法操作，因此自同构群同构于非零有理数的乘法群。 题81.3讨论了有限群的自同构，特别是没有不动点的自同构。当一个群存在一个没有不动点的自同构时，可以推断出该群是奇数阶的阿贝尔群。 在子群和陪集分解方面，题目81.3中讨论了与主对角线上元素均为1的上三角方阵全体形成的群，以及它的一些特殊子集。特别地，证明了所有上三角可逆阵构成的集合是群的一个子群。 此外，书中还涉及了群的表现、小阶群的结构、群的同构等深层次的内容。通过对这些具体习题的解答，读者可以掌握近世代数的核心概念，并在实践中加以应用。 需要注意的是，由于文档的OCR识别问题，部分内容存在个别字词识别错误或遗漏，这可能会对理解题目的原始意图造成一定障碍。然而，通过对内容的分析和语境的推断，我们仍然能够把握住习题解答的核心知识点，并使其通顺。由于文档内容的复杂性和专业性，对问题的解答需要深厚的数学背景和严谨的逻辑推理能力。