近世代数练习题(附答案)

【近世代数】是数学的一个重要分支，主要研究抽象代数结构中的群、环、域等概念及其性质。以下是从题目中提取出的一些关键知识点： 1. **结合律与交换律**：在代数运算中，结合律指的是三个或更多元素进行运算时，无论怎样组合括号，结果都是相同的。而交换律则是指任意两个元素交换位置后，运算结果不变。例如，题目中的2a bab=+o，如果适合结合律且适合交换律，那么a、b、c之间的加法就是典型的例子。 2. **群的阶**：群中元素的阶是指该元素与自身相乘的次数，使得结果为单位元的最小正整数。如题目中提到的a的阶为12，意味着存在k使得a^k=1，且k是最小的正整数。8a的阶可能是原群元素阶的因子，根据题目答案是3。 3. **对称群**：对称群是所有置换的集合，题目中的7S表示7个元素的对称群，包含7!个元素。两个置换的乘积代表了先执行一个置换再执行另一个的效果。 4. **无零因子环**：在环中，若没有非零元素的乘积为零，则称其为无零因子环。这里的性质是关于元素阶的比较，阶是元素乘以自身若干次得到单位元的次数。 5. **素元**：在整环I中，素元（prime element）是指除了平凡因子1和自身外，没有其他非平凡因子的元素。素元不一定是质数，但满足素元的性质类似于整数中的质数。 6. **一一映射与自同构**：一一映射是指两个集合间的映射，使得每个元素都有唯一对应的元素。自同构是环或群中的特殊映射，它保持了结构的不变性，即自同构下的加法和乘法保持原有的运算规则。 7. **群的乘法**：群中元素的乘法（或运算）可能不遵循我们熟悉的乘法法则。例如，Gba^(-1)可能表示在群G中，b乘以a的逆等于1。 8. **代数运算**：代数运算需要满足特定的规则，如封闭性、结合律、交换律等。题目中的"o"表示某种代数运算，需要根据具体定义来判断。 9. **自同构**：自同构是实数集上的映射，保持加法运算不变。D选项5x + 1是这样的自同构，因为它将加法保持不变，x+y经过映射后变为5x + 1 + 5y + 1。 10. **偶数阶群**：偶数阶群中，阶为2的元素数量总是偶数。这是因为每个阶为2的元素与其逆元相同，而群中元素与逆元成对出现。 11. **对称群的乘积**：对称群中的元素乘积可以理解为一系列置换的复合，题目中计算的是两个置换的乘积。 12. **子群的阶**：群G的子群H的阶是G阶的因子，不能是G阶的倍数。所以，对于48阶的群，18不可能是真子群的阶。 13. **循环子群**：循环子群是由群中某个元素生成的，其阶是该元素阶的因子。若a的阶为24，则9a的循环子群阶为8。 14. **消去律**：在环中，如果消去律成立，意味着环中没有非零零因子。消去律与逆元、无零因子环的概念紧密相关。 15. **一元多项式环**：在一元多项式环[ ]F x中，F是一个域，这个环具有欧式环的性质，即每个非零多项式都可以被一组线性多项式整除。 16. **唯一分解环**：在唯一分解环中，每个元素都能唯一地分解为不可约因子的乘积，且单位元有唯一的分解形式。 17. **域的特征**：域的特征是指域中元素与零元相加的次数，使得结果为零元的最小正整数。30个元的域的特征可能是5，因为5的倍数可以整除30。 18. **环与域的同态**：环的同态保持了加法和乘法的结构，如果域R与R同态，那么R必定是环，但可能是更特殊的结构，如整环或域。 19. **唯一分解环的素理想**：在唯一分解环中，理想I如果满足唯一分解性，那么它是唯一分解的。 以上是对近世代数练习题中涉及的概念和原理的详细解释，它们涵盖了群论、环论、域论的基本内容。这些知识点是深入理解和应用近世代数的基础。