《近世代数》模拟试题2及答案.pdf

《近世代数》模拟试题涉及了近世代数的基础概念与理论，主要涵盖以下几个知识点： 1. **群的概念**：群是一组元素与一个运算相结合的结构，满足结合律、存在单位元以及每个元素都有逆元。例如，整数加群（Z，+）就是整数集合上的加法运算构成的群。 2. **单位元**：在群中，单位元是与任何元素相运算后结果不变的元素。对于整数加群（Z，+），单位元是0，因为任何整数与0相加都等于它本身。 3. **错误选项辨析**：题目中的选择题第2题，选项D是错误的，因为它提到的G是全体自然数集合，而自然数不包括负数，所以不能对普通加法构成群，正确的应该是全体整数集合。 4. **等价关系的性质**：等价关系必须具有反身性（每个元素与自身等价）、对称性（如果a与b等价，则b与a也等价）和传递性（如果a与b等价，b与c等价，则a与c等价）。封闭性不是等价关系的必要条件。 5. **共轭类**：在群论中，元素的共轭类是由与该元素通过某个群元素作用得到的所有元素组成的集合。题目中3S的共轭类没有给出具体定义，但可以理解为群元素的一种分类方式。 6. **正规化子与中心化子**：正规化子N(S)是群G中所有使得S不变的元素集合，即所有与S中元素共轭的元素构成的子群。中心化子C(S)是所有与S中每个元素都共轭的元素集合，即所有与S元素互为中心元素的子群。 7. **阶的概念**：群中元素的阶是指该元素自运算的次数直到返回单位元的最小正整数。例如，在复数乘法群中，i的阶是4，因为i * i * i * i = 1。 8. **环的定义**：环是一个非空集合，配以两个二元运算（通常称为加法和乘法），满足一定的代数性质，如结合律、分配律等。题目中提到了由特定形式的方阵构成的环。 9. **零因子**：在环中，如果两个元素相乘的结果是零元，则这两个元素被称为零因子。题目中要求证明特定形式的方阵是环的零因子。 10. **证明题**：涉及了群的性质证明，如证明某运算是否构成群，证明某元素或集合的阶，以及环中的零因子问题。这些都需要运用群和环的基本定理和性质进行推导。 以上是近世代数模拟试题的主要内容和相关知识点，它们涵盖了群论的基础概念、性质及其应用，对于理解和掌握近世代数理论至关重要。