应用近世代数 习题详解 胡冠章

### 应用近世代数习题详解知识点梳理 #### 标题解读 - **应用近世代数**：指的是近世代数理论及其应用领域。近世代数是数学的一个分支，主要研究代数结构如群、环、域等。 - **胡冠章**：这可能是指本书的作者或编者之一。 #### 描述解读 - **2010**：指该书籍出版于2010年。 - **习题解答**：这本书提供了课后习题的详细解答，而非简单的答案提示。 #### 知识点解析 ##### 第一章 **习题1.1** 1. **问题描述**：使用两种颜色的珠子制作含有5颗珠子的项链，询问可以制作出多少种不同的项链。 - **知识点**：排列组合原理中的循环排列。由于项链是可以翻转的，因此需要考虑两种情况的等价性。 - **解答**：通过分类枚举的方法，可以得出全白1种、四白一黑1种、三白二黑2种等，总共8种不同的项链。 2. **问题描述**：对正四面体的顶点使用两种颜色进行染色，问有多少种本质上不同的染色方式。 - **知识点**：组合数学中的染色问题。 - **解答**：通过枚举法，可以得到5种不同的染色方案。 3. **问题描述**：询问具有4个顶点的图的数量以及其中互不同构的图的数量。 - **知识点**：图论中的图同构概念及图的构造。 - **解答**：根据本节内容，可知具有4个顶点的图共有64个；通过分类计数的方法，可以得知共有11个互不同构的图。 4. **问题描述**：如何使用圆规五等分一个圆？ - **知识点**：几何构造。 - **解答**：通过构造一个顶角为36度、腰长为1的等腰三角形，利用相似三角形的性质，可以找到五等分圆的方法。 5. **问题描述**：使用根式表示三次和四次代数方程的根。 - **知识点**：代数方程的求根公式。 - **解答**：查阅数学手册可以得到三次和四次方程的根式表达式，但由于公式较为复杂，在此不列出具体公式。 **习题1.2** 5. **问题描述**：举出一个偏序集但不是全序集的例子，并画出图形。 - **知识点**：集合论中的偏序集和全序集的概念。 - **解答**：举例说明了有限集的幂集对包含关系所构成的偏序集以及有限整数集对整除关系所构成的偏序集。由于文字描述无法直观展现图形，故此处略去详细图形。 **习题1.4** 1. **问题描述**：给出\(a=493\)，\(b=391\)，求\((a,b)\)，\([a,b]\)，\(p\)，\(q\)。 - **知识点**：最大公约数、最小公倍数及其求法。 - **解答**：利用辗转相除法或大衍求一术求解。 - 方法一：辗转相除法求得\((a,b)=17\)，进而求得\([a,b]=11339\)。回带计算得到\(p=4\)，\(q=-5\)。 - 方法二：大衍求一术求解，同样得到\((a,b)=17\)，\(p=4\)，\(q=-5\)。 2. **问题描述**：求\(n=504\)的标准分解式和\(\varphi(n)\)。 - **知识点**：数论中的质因数分解和欧拉函数。 - **解答**：\(504=2^3\times3^2\times7\)，\(\varphi(504)=504\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{7}\right)=144\)。 3. **问题描述**：一支队伍能够排成10行、15行、18行、24行的方形，问至少需要多少人？ - **知识点**：最小公倍数的应用。 - **解答**：求最小公倍数得到[10, 15, 18, 24]=360，因此至少需要360人。 4. **问题描述**：证明方程\(ax+by=c\)在整数范围内有解的充分必要条件是\((a,b)|c\)。 - **知识点**：数论中的线性同余方程组的解法。 - **解答**：通过分析最大公约数与等式的联系来证明该命题。 5. **问题描述**：分别解同余方程组。 - **知识点**：同余方程的解法。 - **解答**：根据题目要求，给出了详细的解题步骤和方法。 以上是对《应用近世代数习题详解》中部分习题的详细解答和知识点的归纳总结，涵盖了组合数学、代数、数论等多个领域的基础知识。