应用近世代数习题详解胡冠章_应用近似代数第三版资源-CSDN文库

近世代数

应用近世代数

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http://faculty.math.tsinghua.edu.cn/faculty/~ghu/html/catelog0.htm

第一章

习题 1.1

1. 用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链，问可做出多少种不

同的项链？

解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔

在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，

全白只 1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2 种，…等等，可得

总共 8 种。

2. 对正四面体的顶点用 2 种颜色着色，有多少种本质上不同的

着色方法？

解类似第 1 题，用枚举法可得 5 种。

3. 有 4 个顶点的图共有多少个？互不同构的有多少个？

解由本节内容，有 4 个顶点的图共有 64 个图。用分类计数

的方法可得共有 11 个互不同构的图。

4. 如何用圆规 5 等分一个圆？

解用初等数学的方法求五边形的边长：作一个顶角为 36°、

腰长为 1 的等腰三角形，设底边长为 a，则 a 就是十边

形的边长，以 a 为半径以单位圆周上任意一点为圆心在圆周

上交出两点，则这两点之间的距离就是五边形的边长。

那么 a 怎么求呢？只要在那个等腰三角形上作一条补助线

底角的角平分线，再利用相似三角形边长成比例的

关系，可得

，因而 a 就可作出了。

5. 用根式表示 3 次和 4 次代数方程的根。查看数学手册。因公

式较复杂，不在这里列出了。

习题 1.2

由此求得 n=3

d=(a,b)=17,

p=(-1)n-1cn=4, q=(-1)ndn=-5。

2. 求 n=504 的标准分解式和φ(n).

解 504=2

×3

×7.

φ(504)=504(1-1/2)(1-1/3)(1-1/7)=144.

3. 一队伍成 10 行、15 行、18 行、24 行均成方形，问需要多少人？

解求最小公倍数：作以下算式

5 | 10, 15, 18, 24

2 | 2 3 18 24

3 | 1 3 9 12

1 1 3 4

得 [10，15，18，24]=5×2×3×3×4=360。

所以需要 360k(k>0) 人。

4. 方程 ax+by=c 在整数范围内有解的充分必要条件是 (a,b)|c 。

证必要性：由于 (a,b)|a, (a,b)|b，所以 (a,b)|ax+by=c 。

充分性：设 d=(a,b), 于是存在整数 p, q 使 pa+qb=d 。

又由 d|c ，可设 c=dh 。因而有 aph+bqh=dh=c 。

所以 x=ph , y=qh 就是一个解。

5. 分别解同余方程：（1）258x≡131(mod348). (2) 56x=88(mod96).

解由书中解同余方程的四个步骤求解。

（1）求 (a,m)=(258,348)=6,

6 不能整除 131，所以此同余方程无解。

（

2）求 (a,m)=(56,96)=8，由于 8 能整除 88，所以此同余方程有

解。

=56/8=7, b

=88/8=11, m

=96/8=12.

用辗转相除法求 p,q 满足 p a

+q m

=1，得 p=-5。

所以方程的解为 x≡ pb

(mod m

) ≡ -5 × 11(mod12) ≡

5(mod12)。

或 x=5+12k(k 为任意整数)。

6. 解同余方程组：

x≡3(mod5)

x≡7(mod9)

解按解同余方程组的三个步骤：

首先，计算 M=5×9=45, M

=9, M

=5.

其次，解两个一次同余式，由于这两个同余式有其特殊性：右端

都是 1，且(a,m)=1。因而

有时可用观察法得到 pa+qm=1,从而得到 p。

1) 9x≡1(mod5),

观察得到 -9+2×5=1, p=-1.

所以此一次同余式的一个特解为 c=-1≡4(mod5).

2)5x≡1(mod9),

观察得到 2×5-9=1, p=2.

所以此一次同余式的一个特解为 c=2(mod9).

最后，将得到的一次同余式的一个特解代入公式，得到同余方程

组的解：

x=b

=3×4×9+2×7×5(mod45)=43(mod45)。

7. 5 行多 1，6 行多 5，7 行多 4，11 行多 10，求兵数。

解设兵数为 x，则 x 满足以下同余方程组：

x=1(mod5)

x=5(mod6)

x=4(mod7)

x=10(mod11)

按解同余方程组的步骤，计算如下：

M=5×6×7×11=2310, M

=462, M

=385, M

=330, M

=210.

分别解以下一次同余式：

462x=1(mod5), 得 c

=3.

385x=1(mod6), 得 c

=1.

330x=1(mod7), 得 c

=1.

210x=1(mod11), 得 c

=1.

代入同余方程组的解的公式，得

x=1×3×462+5×1×385+4×1×330+10×1×210(mod2310)

=2111(mod2310).

由实际问题的意义，x 应取正数，所以兵数为

x=2111+2310k(k 非负整数)。

第二章

习题 2.1

4. 举例说明，把定理 3 中条件 S3’改为：对任意 a 有右逆元 aR-1：

a aR-1=eL ，则定理不成立。

证只需举一反例。

设 G={a,b}，乘法表如下：

a b

a a b

b a b

可验证满足结合律，故（G, ×）是半群；

左单位元为 a；

右逆元：aR-1=a，bR-1=a 。

但无单位元，所以 G 不是群。

5. M 为含幺半群，证明 b=a

-1

的充分必要条件是 aba=a 和 ab2a=e。

证必要性：将 b 代入即可得。

充分性：利用结合律作以下运算：

ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，

ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e，

所以 b=a

-1

。

6. 列出 S3 的乘法表。

解参看例 8。练习置换的乘法。

作以下乘法表，注意乘法的左右次序。

· σ1 σ2 σ3 σ4 σ5 σ6

σ1 σ1 σ2 σ3 σ4 σ5 σ6

σ2 σ2 σ1 σ5 σ6 σ3 σ4

σ3 σ3 σ6 σ1 σ5 σ4 σ2

σ4 σ4 σ5 σ6 σ1 σ2 σ3

σ5 σ5 σ4 σ2 σ3 σ6 σ1

σ6 σ6 σ3 σ4 σ2 σ1 σ5

7. 有限代数系（G，·）中有单位元 1，则 G 为群的充分必要条件

是

（1）乘法表中每行每列包含每一个元素；

（2）对 G 中任意两个元素 x, y，在乘法表中任一个以 1, x, y 为顶

点的长方形上的第四个顶点的元素只依赖于 x, y ，而与 1 的选择

无关。

证由于 G 有有限个元素，可设 G={a1,a2,...,an}。可以想象，可

作出一个乘法表，表头上面和左边为这 n 个元素：a1,a2,...,an。先

证必要性。

必要性：（1）由乘法表的规律，第 i 行的元素为：aia1, aia2,..., aian 。

由 aia1=aia2 和消去律，得 a1=a2，矛盾。因而 aia1≠aia2。所以

第 i 行的元素互不相同。从而有{ aia1, aia2,..., aian}=G，

即第 i 行包含 G 的每一个元素。

（2）在乘法表中任取一个 1，在同一列中必有一个 x，在同一行

中必有一个 y，设第四个顶点的元素为 z，见下图，

 ..........a-1.........................c...................

......

...........................................................

.........1............................y...................

............................................................

.........x............................z...................

............................................................

则有

x=ba-1, y=ac,

所以

z=bc=xy。与 1 的选择无关。

充分性：封闭性：由乘法表保证。

在证明结合律之前，我们由乘法表的性质（1）、（2），对于乘法表

中以 1、x、y、z 为顶点的长方形，必有

z=xy。下证结合律。

结合律：任取 x，y，z。要证 (xy)z=x(yz).

在乘法表中任取一个 1，在同一列中必有一个 x，在同一行中必有

一个 y，则第四个顶点的元素为 xy。在 y 的同一列中必有一个 1，

与这个 1 同一行中必有一个 z，见下图，

 .....................................................................

......

.......

......

.......

......................................................................

.........1............................y..................yz.......

......................................................................

.........x............................xy................w........

......................................................................

........................................1................ z.........

.......................................................................

我们来看元素 w 的值：

对以 1、x、yz、w 为顶点的长方形，有 w=x(yz),

对以 1、xy、z、w 为顶点的长方形，有 w=(xy)z,

所以 (xy)z=x(yz)，即结合律成立。

单位元：题设。

逆元：由（1）保证。

习题 2.2

2. H 是 G 的有限子集，证明 H 是子群的充分必要条件是对任意

a,b∈H 有 ab∈H。

证必要性：显然。

充分性：由于封闭性成立，H 是半群。又因群 G 中消去律成立，

故 H 中消去律也成立。由 2.1 节定理 5，知 H 是群。

3. 找出 Z 和 Z

中全部子群。

解 Z中全部子群：H

={mk|k∈Z}, m=0,1,2,......。

中全部子群：N

={0}，N

={0，2，...，10}，N

={0，3，6，9}，

={0，4，8}，

={0，6}，N

= Z

。

4. 设 G 是群，证明对任意 a,b 有 o(ab)=o(ba)。

证设 o(ab)=n，则 (ab)

=e，a(ba)

n-1

b=e，即 (ba)

n-1

-1

，

故得 (ba)

=e，所以 o(ba)|n，即 o(ba)|o(ab)。

类似可证 o(ab)|o(ba)。

综上，o(ab)=o(ba)。

5. 设 G 是群，|G|=2n，则 G 中有 2 阶元。

证利用任何元素 a 与它的逆元的关系。

对任何非单位元 a 有：a=a

-1

的充分必要条件是 o(a)=2。因而对于

阶数大于 2 的元素总是成对出现的，即阶数大于 2 的元素的个数

是偶数，所以，除单位元之外至少有 1 个 2 阶元。

6. 设 G 是群，若任意 a,b 有 (ab)

，则 G 是 Abel 群。

证利用群内元素的运算关系。

把 (ab)

写成 abab=aabb，由消去律得

ba=ab。

所以

G 是 Abel 群。

7. 设 G 是非 Abel 群，证明存在非单位元 a,b，a≠b 使 ab=ba。

证利用元素和它的逆可交换，或元素和它的幂可交换。但要求元

素和它的逆（幂）不等。

由于 G 是非 Abel 群，必有阶数大于 2 的元素 a，因而 a≠a

-1

，取

b= a

-1

，则 ab=ba。

（也可用幂来做。）

8. o(a)=n，m∈Z

，则 o(a

)=n/(m,n) 。

证要证两个整数相等，通常用互相整除的方法。

设 o(a

)=k ， (m,n)=d ，

令 m=rd ， n=sd ， n/(m,n)=s ，

下证 k 与 s 互相可整除：

)

=e ，所以 k|s 。

另一方面，

)

=e ，所以 n|mk ，得 s|rk ，由于 (r,s)=1 故 s|k 。

综上，k=s 。证毕。

9. 设 A=(a

)

∈SO

，A=σ(η,θ)，则

（1）η可由 A-I 中两线性无关的行向量作叉积得到。

（2）θ满足 2cosθ+1=trA 。

证首先要复习一下 SO

的意义。可从两个角度来看它的意义：

从线性变换的角度，SO

是三维线性空间中全体旋转变换所构成

的群；从矩阵角度来看，SO

是全体行列式为 1 的三阶正交矩阵

所构成的群。因而 SO

中任何一个元素既可用矩阵 A 来表示，也

可用旋转变换σ(η,θ)来表示。本题就是要讨论它们之间的关系。

给定一个 A，如何来确定它所对应的旋转变换σ(η,θ)的旋转轴

η和旋转角θ呢？旋转轴η就是三维空间中的一个向量，旋转角

θ就是按右手法则转过的角度。设 A≠I，则向量η（不计正负方

向和大小）和θ由 A 唯一确定。确定的方法如下：向量η的特点

是在 A 的作用下不变，故满足 Aη=η ，即

(A-I)η=0 (*)

由于 A 的行列式为 1 的正交矩阵，1 必是 A 的一个特征值（为什

么？），所以方程(*)必有非 0 解，旋转轴η就是 1 所对应的特征

向量。下证秩(A-I)=3：首先，秩(A-I)<3，如果秩(A-I)=1，则λ

=1 的几何重度为 2，因而λ=1 的代数重度大于或等于 2，令

|λI-A|=(λ-1)

( λ-λ

由|A|=1 得λ

=1，由 A 的正交性，得 A=I，矛盾。故秩(A-I)=2。

由方程(*)可见，η与 A-I 的行向量正交，而 A-I 中恰有两个线性

无关的行向量，所以用这两个线性无关的行向量作叉积就得到η。

（2）设η为旋转轴，将η扩大为一组标准正交基：ε

=η/|η|，

，ε

。则旋转变换σ(η,θ)在此组基下的矩阵为

，

由于 A 与 B 相似，它们有相同的迹，所以 trA=1+2cosθ。

习题 2.3

2. 求 D

的所有最小生成元集。

解最小生成元集指元素个数最少。首先易见 D

的最小生成元集

所含元素个数必为 2。因而有以下两种情形：

（1）D

=<ρ

,π

>。我们来看对 k 与 m 有什么条件？

由于ρ

∈D

，必有 q 使(ρ

)

=ρ

，即 ρ

=ρ

<=> kq=1(mod

n) <=> (k, n)=1。

所以这类最小生成元集为

=<ρ

,π

>，(k, n)=1，m=0,1,...,n-1 。

（2）D

=<π

,π

>。我们来看对 k 与 m 有什么条件？

方法类似。

由于ρ

∈D

，必有 p，q 使(π

)

(π

)

=ρ

，但因 o(π

)=2，

故有

=ρ

<=> k-m=1(mod n) <=> (k-m, n)=1。(其中用到运算规

律π

=ρ

k-m

)。

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内容反馈

zz441225734

2013-04-01

27页，还比较全，就是8分太多了，后来在新浪资料也有，浪费这8分了。
zhu5140

2013-06-18

挺好的，方便学习
zhongpianzhi

2012-10-29

条理清晰，讲解详细，好答案
xiaohe1992

2012-12-16

思路很好，作用很大
vehge

2012-10-27

课后习题讲解详细，效果也很清晰，就是分略有点高

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Alec_fan

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