近世代数习题解答刘少学

【近世代数】是数学的一个重要分支，主要研究抽象代数结构，如群、环、域等。在解决近世代数的习题时，我们通常会遇到以下一些关键概念： 1. **群**：群是一种代数结构，由一个集合G和一个二元运算构成，满足封闭性、结合律、存在单位元以及对每个元素存在逆元的性质。例如，群作用（group action）是群理论中的一个重要概念，其中群元素作用于一个集合，保持其结构不变。 2. **矩阵运算**：在处理线性变换时，矩阵扮演了重要角色。矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律和有单位元，且矩阵的逆如果存在，是唯一的。行列式（determinant）可以用来判断矩阵是否可逆，行列式值非零表示矩阵可逆，其逆矩阵可以通过伴随矩阵计算得到。 3. **向量空间与线性映射**：向量空间是具有加法运算和标量乘法的集合，比如欧几里得空间R^n。线性映射（linear transformation）是保持向量加法和标量乘法结构不变的映射，它们可以用矩阵表示。线性映射的像（image）和核（kernel）是向量空间的重要组成部分，而像和核的性质可以帮助我们理解线性映射的本质。 4. **同态与同构**：同态是保持结构的映射，它将一个代数结构映射到另一个代数结构。同构是双射的同态，意味着两个结构本质上是相同的。例如，群同态保持群的结构，而域同构保持域的加法和乘法结构。 5. **张量积**：张量积是向量空间之间的一种组合操作，它可以用来定义更高阶的线性映射。张量积在物理学和工程学中有广泛应用，如在量子力学和电磁学中。 6. **环与域**：环是一个带有加法和乘法的代数结构，而域除了满足环的条件外，还要求除零元外的任何元素都有乘法逆元。整数环Z、有理数域Q、实数域R和复数域C都是基本的域例子。 7. **自同态与自同构**：自同态是域或环内的映射，它保持原有的运算结构，自同构是自同态的双射形式，即一一对应的自同态。自同构在了解结构不变性方面非常重要。 8. **特征和最小多项式**：对于线性算子，特征值和特征向量描述了该算子如何作用于向量空间的特定方向。最小多项式则给出了一个算子的最小多项式表达，它与特征多项式相关，提供了算子的代数特性。 在解题过程中，这些概念常常相互交织，需要综合运用。例如，通过行列式计算来确定线性变换是否可逆，利用矩阵表示进行向量空间的线性映射分析，或者通过群的同态性质来研究群的结构。近世代数的习题解答通常需要深入理解并熟练应用这些基本原理。