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创意平板折叠桌的设计加工优化内含设计文档和源码.docx
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创意平板折叠桌的设计加工
摘 要
本文研究可折叠的桌子,通过几何关系建立折叠桌侧面直纹曲面和桌脚边缘线的方
程;建立多目标优化模型确定折叠桌的设计过程中的折叠角度和钢筋位置,进而可以确
定长方形平板材料的长度和折叠桌的最优设计加工参数;通过多目标优化模型可以完成
客户任意设定的形状参数的创意平板折叠桌的设计.
针对问题一,以长方形平板中心为原点,y 轴沿小木条方向,z 轴指向桌底,建立
空间直角坐标系,引入参数u 表示直纹曲面上的任一点P 还原到木板状态下到x 轴的距
离,参数v 表示点P
到 yoz
平面的距离,利用几何关系表示出点P
的坐标,即得到直纹
曲面的参数方程.进一步消去参数可得直纹曲面的方程为
a(y-√F²-x²)sinO=z(dcosO+w-√F²-x²)
令u=L/2, 就可得到桌脚边缘线的方程(5-12)或(5-13).进一步可以确定设计加工参数,
如从中间到两边的木条空槽长度分别为20.09,19.60,18.77,17.59,16.06,14.14,11.81 ,9.00
5.53(cm).
针对问题二,以用料最省(板材最短)、加工方便(总开槽长度最短)为目标,各木条
开槽下界不能超出木条、桌子状态下桌腿边缘不能相交、中间所有木条的桌腿不能沾地,
以及桌子的稳固性作为约束条件,建立多目标优化模型.利用 Matlab 编程,求得最优结
果为:折叠桌弯折角θ为1.0605(弧度),钢筋的初始位置到桌腿底端的距离s 为43.80cm,
木板的长度L 为158.56cm.
针对问题三,先将圆形折叠桌的侧面直纹曲面和桌脚边缘线的方程推广到一般形状
桌面和一般形状板材,然后利用多目标优化模型设计了两种特殊形状的折叠桌:非长方
形板材的正方形折叠桌和8字形折叠桌.通过改变木条的旋转角度分别画出了这两种形
状折叠桌的动态变化示意图,并给出了具体的设计加工参数.
关键词:直纹曲面;折叠桌;多目标优化;参数方程
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一、 问题重述
某公司生产一种可折叠的桌子,桌面呈圆形,桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张
平板.桌腿由若干根木条组成,分成两组,每组各用一根钢筋将木条连接,钢筋两端分
别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上,并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度.桌子
外形由直纹曲面构成,造型美观.建立数学模型讨论下列问题:
1.给定长方形平板尺寸为120 cm×50cm×3 cm, 每根木条宽2.5cm, 连接桌腿木
条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置,折叠后桌子的高度为53 cm. 建立模型描
述此折叠桌的动态变化过程,在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的
数学描述.
2.折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少.对于任意给定的折叠
桌高度和圆形桌面直径的设计要求,讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参
数,例如,平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等.对于桌高70 cm, 桌面直径80 cm 的情
形,确定最优设计加工参数.
3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件,根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘
线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状,给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最
优设计加工参数,使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状.任务是帮助给出这一
软件设计的数学模型,并根据所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌.要求
给出相应的设计加工参数,画出至少8张动态变化过程的示意图.
二、 问题分析
对于问题一,首先建立空间直角坐标系,考虑确定直纹曲面的参数方程,引入参数
u,v, 其中u 为直纹曲面上任一点还原到木板状态下到x 轴的距离,v 为任一点到平面
yOz 的距离.由几何关系可知:OP=OC+CP, 分别根据空间几何关系求解OC 和 CP ,
用来表示OP, 即可求得直纹曲面的参数方程.用木条作为桌面部分的长度1及桌脚长度
可确定铰链位置(即每根木条的弯折点).木板状态时,钢筋位于各木条一半的中点位置,
此时钢钉刚好位于槽的上界(以桌子状态下,槽靠近坐标原点的边界叫上界),桌子状态
时,铁钉位于槽的下界,两者的差值即为空槽长度.当u 取木板长度的一半时即为桌角
边缘线的方程.对于折叠桌的动态变化过程,可用Matlab绘制图像,编程过程可先求出
桌面上各铰链的坐标,并在坐标系将铰链坐标点顺次相连,即可作出桌面曲线.然后求
钢筋的坐标,连接对应的铰链坐标点和钢筋坐标点.最后找桌腿底端坐标点,连接对应
的钢筋坐标点和桌腿底端坐标点,就得到了桌面图像.
对于问题二,考虑用料最省、加工方便作为目标,以各空槽长度不能超出木条、桌
子在弯折过程中桌腿边缘不能相交、桌子的稳固性作为约束条件,利用 Matlab
编程,求
得折叠桌弯折角θ,钢筋的初始位置到木条末端的距离s, 木板的长度L,并将结果代入
问题一中相应模型,即得长方形木板长度和折叠桌的最有设计加工参数..
对于问题三,先将圆形折叠桌的侧面直纹曲面和桌脚边缘线的方程推广到一般形状
桌面和一般形状板材,然后利用多目标优化模型设计了两种特殊形状的折叠桌:可以考
虑非长方形板材的正方形折叠桌和8字形折叠桌.通过改变木条的旋转角度分别画出了
这两种形状折叠桌的动态变化示意图,并给出了具体的设计加工参数,方法类同问题二.
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三、 模型假设
1.不考虑钢筋粗细;
2.空槽充分光滑;
3.加工过程不对木材造成损失;
4.桌脚与地面摩擦力足够大.
四、 符号说明
r: 桌面的半径
W: 桌面的宽度
w: 木条的宽度
d: 最外侧木条钢钉到铰链的距离
len: 空槽长度
l: 木条作为桌面的长度
L:长方形木板的长度
θ:桌子状态下桌面与最外侧木条的夹角
h: 桌子高度
s: 钢筋的初始位置(平板)到木条底端的距离
五、 问题一 的模型建立与求解
5.1 坐标系的建立
由于长方形木板具有对称性,故将长木板按下图5-1编号:
图5-1:长方形木板编号图
以桌面底面的中心为坐标原点O,-1
图5-2:桌子状态下的空间直角坐标系
号和1号木条相接的线为y 轴,在桌面底面上
作过原点并垂直y 轴方向为x 轴,过坐标原点并垂直xoy平面的直线为z 轴,建立空间
直角坐标系,如图5-2所示.
5.2 直纹曲面(桌侧面)的方程
按5.1中所述建立空间直角坐标系,设直纹曲面上任意一点P =(x,y,z),u 为P 点
还原到木板状态下到平面xOz 的距离, v 为点P 到平面yOz 的距离.
由几何关系知:OP=OC+CP
在桌子状态下,将空间直角坐标系中各点位置关系抽象为图5-3,如下:
4
图5-3:桌子状态下的各点符号
其中:直线BM 为桌子状态下钢筋所在位置,点C 为P 点所在木条的折点,即铰链位置,
点B 为 P 点所在木条与钢筋的交点, D 是 P 点所在木条桌腿末端的点.
(1)桌面半径
将桌子理想化为圆形桌子,易知圆O 的方程为:
其中, r 为桌面半径,可按下式计算
(5-1)
(5-2)
其 中 ,W 表示桌面宽度,w 表示木条宽度.
(2)求解OC和CP
C 为点P 所在木条的弯折点,过C 点向平面xOz作垂线,交于点 A.过直线CA 且平
行于y0z 平面的方程为x=v, 两式联立可求得C(v√r²-v²,o)
oc=(v.√F-v,o).
,所以
(5-3)
由上述参数假设及C 点坐标可知, |cr|=u-
√²-v²
分析图5-4、图5-5可得:M(v,dcosθ+w,d sinθ),其中
NM
的长度用d 表示,最
外侧桌腿折叠时旋转的角度为0.
图5-4:桌子状态侧面图形
图5-5:桌子状态侧面平面图
分析动态变化过程可以发现,钢钉在由长方形平板向桌子状态变化过程中绕x 轴旋
x
5
转,钢筋总是平行于x 轴转动,由几何关系及M 点坐标可知:B=(v,d cosθ+w,d sinθ).
则:
CB=0B-0C=(0.dcosO+w-√F²-v.,dsino).
B点所在木条的桌铰链位置到钢钉位置长度为:
=√d²+w²+r²-v²-2(dcosO+w)√r²-v²cosO+2dwcos0
所以,
即
(3)直纹曲面的参数方程
因此,
故直纹曲面的参数方程为:
(5-4)
(5-5)
(5-6)
(4)直纹曲面的直接方程
将y-√²-v² 和z相除,得到:
代入x=v, 可得直纹曲面的方程为:
(5-7)
5.3 折叠桌的加工参数
2n根木条空槽长度及空槽上、下界沿y 轴两边对称,仍按图5-1中编号方式考虑x
轴正方向的n 根木条即可,
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小码蚁.
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