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B 题创意平板折叠桌

摘要

本文通过建立数学模型，对平板折叠桌进行优化设计，旨在设计出产品稳固性好、

加工方便、用材最少的平板折叠桌。同时根据折叠桌桌面边缘线的演化，建立了任意桌

型的优化设计模型，并结合实际，设计、仿真出具有创意的平板折叠桌。

对于问题一，本文建立了桌面边缘线为圆形的折叠桌离散型动态描述模型和连续型

动态描述模型。离散模型实现了对产品设计参数的精确描述，结合已知尺寸，计算出此

折叠桌的加工参数（滑槽位置及长度

），

并得出最长滑槽为 17.87cm。同时，分析了每根

木条随桌腿的运动情况并仿真展示。在连续模型中，将木条的运动抽象成线的运动，以

此实现了桌脚边缘线的连续描述，结合运动过程仿真模拟，清晰的展示了桌脚边缘线的

动态过程。

对于问题二，本文建立了桌面边缘线为圆形的折叠桌优化设计模型。通过对折叠桌

的稳定性，设计尺寸，滑槽长度的综合优化，得出最优设计尺寸和加工参数。在稳定性

分析过程中，首先对立置折叠桌进行受力分析，得出只有桌腿承力，因此可进行折叠桌

简化分析，确定单侧木桌重心的位置，求解力的平衡方程得出稳定条件。在尺寸设计过

程中，根据稳定时的桌腿位置与高度的关系，得出平板的设计尺寸。在滑槽设计过程中，

因滑槽的长短和加工位置是影响系统稳定性及木板设计尺寸的关键，同时从易于加工的

角度考虑，得出符合产品设计的约束条件。根据题设折叠桌参数，结合优化设计模型得

出，在地面摩擦系数为 0.4 和 0.5，权重值为 0.5 的情况下，最佳木板长度均为 159cm，

滑槽长度为 34.64cm。

对于问题三，本文建立了任意桌形折叠桌优化设计模型。由于桌面形状的不确定性，

需要抽象描述桌形。分析发现，任意桌形的设计必须满足沿桌长方向对称，桌宽方向桌

形可不对称，这就需要根据折叠桌桌面的对称情况考虑是否需要分别优化通过重力作用

点的yoz 平面两侧桌型。为了表示通用的数学模型，仅对一侧建立优化模型，结合实际

采用离散的优化模型，对折叠桌的稳定性，设计尺寸，滑槽长度进行分析。考虑到客户

期望的桌脚边缘线是连续的，建立连续的设计桌脚边缘线方程，通过空间曲线间距离的

积分来描述两边缘线的接近程度。综合上述条件，可以设计出稳定性好、加工方便、用

材最少的任意桌形的折叠桌并得出最优设计尺寸和加工参数。结合实际，设计出具有创

意的心形和菱形的平板折叠桌，并用 3D MAX 进行动画展示。

本文脉络清晰，层层递进，分析合理，描述准确，所建立的任意桌形优化设计模型

具有很强的通用性，为折叠桌软件设计提供了有力的理论支撑。

关键词：折叠桌受力分析优化仿真 3DMAX MATLAB

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一、问题重述

1.1 问题背景

某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张

平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分

别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子

外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。

1.2 目标任务

问题一：给定长方形平板尺寸为 120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽 2.5 cm，连接

桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为 53 cm。试建

立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚

边缘线的数学描述。

问题二：折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定

的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加

工参数。对于桌高 70 cm，桌面直径 80 cm 的情形，确定最优设计加工参数。

问题三：开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线

的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优

设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。

二、问题分析

非创意，不生活！创意不仅是一种生活态度，更是对更高生活品质的追求。创意平

板折叠桌不仅可以表达木制品的优雅和设计师所想要强调的自动化与功能性，还可以最

大程度的节省空间。

题目介绍了一种新型的平板折叠桌，桌腿上固定有钢筋，钢筋贯穿桌腿之间的所有

木条，钢筋沿木条内部的空槽运动，以保证该折叠桌可通过桌腿绕铰链活动平摊成一张

平板。

对于问题一，题目中给出平板折叠桌的高度、平面尺寸、板厚、木条宽度及钢筋位

置等具体数据，由立体几何中的相关知识可以建立坐标系，将已知数据代入得到空间数

学模型中，即可解得此折叠桌的设计参数及桌脚边缘线的数学描述，可以通过仿真得到

折叠桌桌角的动态变化过程。

对于问题二，题目要求折叠桌的设计应做到稳固性好、加工方便、用材最少，本文

将建立多目标优化模型，研究长方形平板材料制作折叠桌时的设计参数。首先，利用立

体几何关系建立折叠桌设计参数；然后，鉴于到折叠桌这种艺术品实际使用过程中不会

承受较大重物，因而只考虑折叠桌本身重力对其稳定性的影响，并且根据折叠桌材料选

取适当的地面摩擦系数建立稳定性方程；最后，在稳定的基础上从加工方便及耗材最少

的角度出发，建立优化设计的模型，确定最优解。

对于问题三，为了满足客户需求，本文将原先的圆形桌面推广成任意形状（只要关

于x 轴对称）的桌面，结合第二问中的目标函数及约束建立数学模型，用范数描述实际

桌脚边缘线与用户需求的桌脚边缘线相近的相近程度。然后，以此模型为背景，设计几

种构造合理、实用价值相对较高的折叠桌，并利用一、二问的结果求出设计参数并画出

动态特性图。

平板折叠桌通过最边缘的两根位置固定的钢筋和具有滑槽可运动的木条组成，本文

通过建立数学模型，分析其折叠过程中的动态变化过程，从设计加工参数着手，建立多

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