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创意平板折叠桌 优化设计内含设计文档和源码.docx
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本文档是课题研究的研究报告内含调研以及源码设计以及结果分析
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1
创意平板折叠桌
摘要
本文研究了平板折叠桌在折叠过程中,桌脚边缘线和固定钢筋的变化过程,得
到了它们的空间曲线方程,给出了在满足牢固性和稳定性前提下的最优解,并将圆
形桌面的平板桌推广到了一般桌面的情况。
对于问题一,将空间中的平板桌投影到两个平面坐标系当中,利用三角形关系,
*
i
建立了桌脚边缘线的参数方程: y
i
*
*
z
x
0
x
i
d
i
2.5i
(L
i
d
i
) x
0
z
0
d
i
(L
i
,计算出了每条木条上的
开槽坐标点,在给定其他参数的情况下给出了平板折叠桌的木条开槽加工参数,并
将平板桌从折叠到打开的过程动态用图形给出了分步说明。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
木条长度
57
49.103
45
42.146
40
38.349
37.087
36.152
35.505
35.125
开口位置 1
-31.5
-36.558
-40.057
-42.881
-45.219
-47.139
-48.677
-49.855
-50.687
-51.182
开口位置 2
-31.5
-31.5
-31.5
-31.5
-31.5
-31.5
-31.5
-31.5
-31.5
-31.5
开口长度
0
5.0582
8.5566
11.381
13.719
15.639
17.177
18.355
19.187
19.682
木板横坐标
-30.368
-21.97
-18.024
-15.884
-14.74
-14.178
-13.946
-13.889
-13.907
-13.939
钢条横坐标
-16.684
-16.684
-16.684
-16.684
-16.684
-16.684
-16.684
-16.684
-16.684
-16.684
对于问题二,我们采用非线性约束优化求解。将木板的设计参数归结到两个影
响因子 和k ,其中 为最外侧木条与垂直方向的夹角,k 为钢筋位置与最外侧木条
长度之间的比例系数。考虑桌子的牢固性和平衡性,以及加工工艺的限制,建立约
d
i
) z
0
x
i
2
. .
x
n
(
h
) x
2
(x
0
x
2
)
2
z
0
*
n cos x x x
0.9R h tan 0
h tan 1. 1R 0
h k tan
k x
1
R
s t 。首先,以
z
0
h
x
1 n 0
0
n
(x
0
x
n
)
2
z
0
2
x
n
使得整个木材在满足设计要求的情况下用料最省。然后, 当 固定以后,调整k
的
取值范围,选取min
加工最简单。
d
i
x
i
k L
max
为目标函数,使得加工的木条开槽最短,
对于问题三,在满足平板桌稳固和平衡的条件下,可调整桌面的边缘线为任意
外凸曲线,只要建立曲线方程,代入问题二所建立的模型中,即可求取满足要求的
平板桌设计样式的最优设计参数。我们给出了三种基本情况下的参数计算和平板桌
打开过程的动态演示,均符合设计要求。
关键词: 折叠平板桌;空间参数曲线; 非线性约束优化; 模糊数学模型
min 为目标函数,
i 1
h
cos
束方程:
x
1
3
一、
问题重述
某公司生产一种可折叠的桌子,桌面呈圆形,桌腿随着铰链的活动可以平摊成
一张平板。桌腿由若干根木条组成,分成两组,每组各用一根钢筋将木条连接,钢
筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上,并且沿木条有空槽以保证滑动的
自由度。 桌子外形由直纹曲面构成,造型美观。 附件视频展示了折叠桌的动态变化
过程。
试建立数学模型讨论下列问题:
1. 给定长方形平板尺寸为 120 cm × 50 cm × 3 cm ,每根木条宽 2.5 cm ,连接桌
腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置, 折叠后桌子的高度为 53 cm。试
建立模型描述此折叠桌的动态变化过程,在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数
(例如,桌腿木条开槽的长度等)和桌脚边缘线的数学描述。
2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的
折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求,讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计
加工参数,例如,平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高 70 cm,桌面直径
80 cm
的情形,确定最优设计加工参数。
3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件,根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面
边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状,给出所需平板材料的形状尺寸和切实
可行的最优设计加工参数,使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们
团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型,并根据所建立的模型给出几个你
们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数,画出至少 8 张动态
变化过程的示意图。
二、问题分析
2.1 问题一的分析
针对问题一我们以折叠桌桌面中心为原点建立三维直角坐标系,通过计算每个
特征点的坐标得到加工参数和桌脚边缘线的数学描述。为方便计算,我们将三维的
立体图形转换到两个直角坐标系进行分析。
2.2对问题二的分析
针对问题二,我们采用非线性约束优化求解。将木板的设计参数归结到两个影
响因子 和k ,其中 为最外侧木条与垂直方向的夹角,k 为钢筋位置与最外侧木条
4
长度之间的比例系数。考虑桌子的牢固性和平衡性,以及加工工艺的限制,建立约
束方程,首先以min 为目标函数,使得整个木材在满足设计要求的情况下
用料最省。然后,当 固定以后,调整k 的取值范围,选取min
i 1
k L
max
为目标函数,使得加工的木条开槽最短,加工最简单。
2.3对问题三的分析
针对问题三,在满足平板桌稳固和平衡的条件下,可调整桌面的边缘线为任意
外凸曲线,只要建立曲线方程,代入问题二所建立的模型中,即可求取满足要求的
平板桌设计样式的最优设计参数。我们给出了三种基本情况下的参数计算和平板桌
打开过程的动态演示,均符合设计要求。
三、模型假设
本文研究的平板具有如下的特征:
每条木条都是均匀分割的;
折叠之前每根木条之间的缝隙忽略不计
桌子只考虑在水平面平放的情况下
料性能对设计不影响
实际加工误差对设计无影响
木条与圆桌面之间的交接无缝隙
钢筋尺寸不计
d
i
x
i
5
四 、符号说明
本文中,用到的符号说明见表1。
表1符号说明表
符号
说明
(x₁ ,y;)
圆桌平面上各点的坐标
(x,,y,,z,)
(xo,y,Z₀)
L₁
每条桌腿边缘的空间坐标
钢筋各点的空间坐标
每根桌腿长度
d;
Ci
桌面到钢筋的长度
每条桌腿的开槽长度
W
每根木条的宽度
R
圆桌半径
k
钢筋位置与最外侧木条长度之间的比例系数
d
最外侧木条与垂直方向的夹角
五、模型建立与求解
5.1 问题一的求解
以桌面的几何中心为坐标原点,建立如图5.1.1所示的空间坐标系。再将其分解
成x-y,x-z 2个平面坐标系,如图5.1.2、 图5.1.3所示
图5.1.1 桌子空间图
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小码蚁.
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