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关于含参导数的练习题.pdf
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关于含参导数的练习题
一.解答题(共 20 小题)
1.(2014?遵义二模)设函数 f( x)=x
2
+aln(1+x)有两个极值点 x
1
、x
2
,且 x
1
<x
2
,
(Ⅰ)求 a 的取值范围,并讨论 f(x)的单调性;
(Ⅱ)证明: f(x
2
)> .
2.(2014?河西区三模)已知函数 f(x) = +cx+d (a,c, d∈R)满足 f (0) =0,f′(1)=0,且 f′(x)
≥0 在 R 上恒成立.
(1)求 a,c,d 的值;
(2)若 ,解不等式 f′(x)+h(x)< 0;
(3)是否存在实数 m,使函数 g(x) =f′(x)﹣ mx 在区间 [m, m+2]上有最小值﹣ 5 若存在,请求出实数 m 的值;
若不存在,请说明理由.
3.(2014?孝感二模)已知函数 f (x)=alnx ﹣ax﹣3(a∈R).
(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数 y=f (x)的图象在点( 2,f(2))处的切线的倾斜角为 45°,对于任意的 t∈[1,2] ,函数
在区间( t,3)上总不是单调函数,求 m 的取值范围;
(Ⅲ)求证: .
4.(2014?天津三模)已知函数 f (x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣ 2lnx ,g( x)=xe
1
﹣
x
.(a∈R,e 为自然对数的底数)
(Ⅰ)当 a=1 时,求 f( x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数 f(x)在 上无零点,求 a 的最小值;
(Ⅲ)若对任意给定的 x
0
∈(0,e] ,在( 0,e]上总存在两个不同的 x
i
(i=1 ,2),使得 f(x
i
)=g(x
0
)成立,求 a
的取值范围.
5.(2014?市中区二模)已知函数 f(x) =x
2
+ax﹣lnx, a∈R.
(1)若函数 f( x)在 [1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围;
(2)令 g(x)=f(x)﹣ x
2
,是否存在实数 a,当 x∈(0, e]( e 是自然常数)时,函数 g(x)的最小值是 3,若存
在,求出 a 的值;若不存在,说明理由;
(3)当 x∈(0,e]时,证明: .
6.(2014?凉州区二模)已知函数 f(x) =plnx+ (p﹣1)x
2
+1.
(1)讨论函数 f(x)的单调性;
(2)当 P=1 时, f(x)≤kx 恒成立,求实数 k 的取值范围;
(3)证明: 1n(n+1)< 1+ …+ (n∈N
+
).
7.(2014?甘肃二模)已知函数 f (x)= +lnx ﹣2,g( x)=lnx+2x .
(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间;
(Ⅱ)试问过点( 2,5)可作多少条直线与曲线 y=g(x)相切请说明理由.
8.(2014?吉林三模)已知函数 f (x)=lnx ﹣ , g(x)=f(x)+ax﹣6lnx ,其中 a∈R
(1)当 a=1 时,判断 f(x)的单调性;
(2)若 g(x)在其定义域内为增函数,求正实数 a 的取值范围;
(3)设函数 h(x)=x
2
﹣mx+4 ,当 a=2 时,若 ?x1
∈(0,1),?x
2
∈[1,2],总有 g(x
1
)≥h( x
2
)成立,求实数 m
的取值范围.
9.(2014?和平区三模)设函数 f (x)=x ﹣ae
x
﹣
1
.
(Ⅰ)求函数 f(x)单调区间;
(Ⅱ)若 f(x) ≤0 对 x∈R 恒成立,求 a 的取值范围;
(Ⅲ)对任意 n 的个正整数 a
1
,a
2
, …a
n
记 A=
(1)求证: (i=1 ,2,3…n)(2)求证: A .
10.(2014?宿迁一模)已知函数 f(x)=x
3
+ x
2
+ax+b(a,b 为常数),其图象是曲线 C.
(1)当 a=﹣2 时,求函数 f(x)的单调减区间;
(2)设函数 f( x)的导函数为 f′(x),若存在唯一的实数 x
0,使得 f(x0)=x0 与 f′(x0)=0 同时成立,求实数 b
的取值范围;
(3)已知点 A 为曲线 C 上的动点,在点 A 处作曲线 C 的切线 l
1
与曲线 C 交于另一点 B,在点 B 处作曲线 C 的切
线 l
2
,设切线 l
1
,l
2
的斜率分别为 k
1
,k
2
.问:是否存在常数 λ,使得 k
2
=λk
1
若存在,求出 λ的值;若不存在,请
说明理由.
11.(2014?珠海二模)已知函数 f(x)=(a+1)lnx+ax
2
+ ,a∈R.
(1)当 a=﹣ 时,求 f(x)的最大值;
(2)讨论函数 f(x)的单调性;
(3)如果对任意 x
1,x2∈(0,+∞),|f(x1)﹣ f(x2)|≥4|x1﹣x2|恒成立,求实数 a 的取值范围.
12.(2014?天津二模)已知函数 f(x)=(a+ )e
n
,a, b 为常数, a≠0.
(Ⅰ)若 a=2,b=1,求函数 f(x)在( 0,+∞)上的单调区间;
(Ⅱ)若 a>0, b>0,求函数 f(x)在区间 [1 ,2] 的最小值;
(Ⅲ)若 a=1,b=﹣ 2 时,不等式 f(x)≤lnx?e
n
恒成立,判断代数式 [(n+1)!]
2
与( n+1)e
n
﹣
2
(n∈N
*
)的大小.
13.(2014?南昌模拟)已知函数 f(x)=ax﹣1﹣ lnx(a∈R).
(1)讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数;
(2)若函数 f( x)在 x=1 处取得极值,对 ?x∈(0,+∞),f(x)≥bx﹣2 恒成立,求实数 b 的取值范围;
(3)当 x>y>e﹣1 时,求证: .
14.(2014?广州模拟)已知函数 f(x)=ax
3
+bx
2
﹣3x(a,b∈R)在点( 1,f(1))处的切线方程为 y+2=0 .
(1)求函数 f( x)的解析式;
(2)若对于区间 [﹣ 2,2]上任意两个自变量的值 x
1
,x
2
都有 |f(x
1
)﹣ f(x
2
)|≤c,求实数 c 的最小值;
(3)若过点 M (2,m)(m≠2)可作曲线 y=f (x)的三条切线,求实数 m 的取值范围.
15.(2014?江西一模)已知函数 f(x)=x﹣alnx,g(x)=﹣ ,( a∈R).
(Ⅰ)若 a=1,求函数 f(x)的极值;
(Ⅱ)设函数 h(x)=f(x)﹣ g(x),求函数 h( x)的单调区间;
(Ⅲ)若在 [1,e](e=2.718…)上存在一点 x
0
,使得 f(x
0
)< g(x
0
)成立,求 a 的取值范围.
16.(2014?宝鸡三模)已知 f(x)=xlnx ,g(x)=x
3
+ax
2
﹣x+2
(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求函数 f(x)在 [t ,t+2](t>0)上的最小值;
(Ⅲ)对一切的 x∈(0,+∞),2f(x)≤g′(x)+2 恒成立,求实数 a 的取值范围.
17.(2014?揭阳三模)已知函数 f(x)=ln( x+a)﹣ x
2
﹣x 在 x=0 处取得极值.
(1)求实数 a 的值;
(2)若关于 x 的方程 在区间 [0,2] 上恰有两个不同的实数根,求实数 b 的取值范围;
(3)证明:对任意的正整数 n,不等式 都成立.
18.(2014?湖北模拟)已知函数 f(x)= m(x﹣1)
2
﹣2x+3+lnx (m≥1).
(Ⅰ)当 时,求函数 f(x)在区间 [1,3]上的极小值;
(Ⅱ)求证:函数 f(x)存在单调递减区间 [a,b];
(Ⅲ)是否存在实数 m,使曲线 C:y=f (x)在点 P( 1,1)处的切线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点若存在,求
出实数 m 的值,若不存在,请说明理由.
19.(2015?横峰县一模)已知函数 f(x)=alnx ﹣ax﹣3(a∈R,a≠0).
(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数 y=f(x)的图象在点 (2,f(2))处的切线的倾斜角为 ,问:m 在什么范围取值时, 对于任意的 t∈[1,
2],函数 在区间 [t ,3]上总存在极值
(Ⅲ)当 a=2 时,设函数 ,若在区间 [1,e] 上至少存在一个 x0
,使得 h(x
0
)> f
(x0
)成立,试求实数 p 的取值范围.
20.(2014?聊城一模)已知函数 f(x)=ln( x+a)﹣ x
2
﹣x 在 x=0 处取得极值.
(Ⅰ)求实数 a 的值;
(Ⅱ)若关于 x 的方程 f(x)=﹣ x+b 在区间 [0,2] 上恰有两个不同的实数根,求实数 b 的取值范围;
(Ⅲ)证明:对任意的正整数 n,不等式 2+ + +…+ >ln (n+1)都成立.
关于含参导数的练习题
参考答案与试题解析
一.解答题(共 20 小题)
1.(2014?遵义二模)设函数 f( x)=x
2
+aln(1+x)有两个极值点 x
1
、x
2
,且 x
1
<x
2
,
(Ⅰ)求 a 的取值范围,并讨论 f(x)的单调性;
(Ⅱ)证明: f(x
2)> .
考点 : 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;不等式的证明.
专题 : 计算题;证明题;压轴题.
分析:
( 1)先确定函数的定义域然后求导数 fˊ(x),令 g(x)=2x
2
+2x+a ,由题意知 x1、x2 是方程 g(x)=0 的
两个均大于﹣ 1 的不相等的实根,建立不等关系解之即可,在函数的定义域内解不等式 fˊ(x)>0 和 fˊ(x)
< 0,求出单调区间;
( 2)x
2 是方程 g(x)=0 的根,将 a 用 x2 表示,消去 a 得到关于 x2 的函数,研究函数的单调性求出函数的
最大值,即可证得不等式.
解答:
解:(I)
令 g( x)=2x
2
+2x+a ,其对称轴为 .
由题意知 x
1
、x
2
是方程 g(x)=0 的两个均大于﹣ 1 的不相等的实根,
其充要条件为 ,得
( 1)当 x∈(﹣ 1,x
1)时, f'(x)> 0,∴f(x)在(﹣ 1,x1)内为增函数;
( 2)当 x∈(x1
,x
2
)时, f'(x)< 0,∴f (x)在( x
1
,x
2
)内为减函数;
( 3)当 x∈(x
2,+∞)时, f'(x)> 0,∴f(x)在( x2, +∞)内为增函数;
( II )由( I)g(0)=a>0,∴ ,a=﹣( 2x
2
2
+2x
2
)
∴ f(x2)=x2
2
+aln( 1+x2)=x2
2
﹣( 2x
2
2+2x 2) ln (1+x 2)
设 ,
则 h'(x)=2x ﹣2(2x+1 )ln (1+x)﹣ 2x=﹣2(2x+1)ln(1+x )
( 1)当 时, h'(x)> 0,∴h(x)在 单调递增;
( 2)当 x∈(0,+∞)时, h'(x)< 0,h(x)在( 0,+∞)单调递
减. ∴
故 .
点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,以及利用导数研究函数的极值等有关知识,属于基础题.
2.(2014?河西区三模)已知函数 f(x) = +cx+d (a,c, d∈R)满足 f (0) =0,f′(1)=0,且 f′(x)
≥0 在 R 上恒成立.
(1)求 a,c,d 的值;
(2)若 ,解不等式 f′(x)+h(x)< 0;
(3)是否存在实数 m,使函数 g(x) =f′(x)﹣ mx 在区间 [m, m+2]上有最小值﹣ 5 若存在,请求出实数 m 的值;
若不存在,请说明理由.
考点 : 导数的运算;函数恒成立问题;利用导数求闭区间上函数的最值;其他不等式的解法.
专题 : 计算题;压轴题.
分析: ( 1)待定系数法求函数解析式,由 f(0)=0,f'(1) =0,且 f'(x)≥0 在 R 上恒成立列出三个方程,解出
a、b、c
( 2)一元二次不等式解法,注意根之间比较,考查分类讨论思想
( 3)考查二次函数最值问题,考查分类讨论思想,对 m 进行讨论,看对称轴与区间的关系.
解答: 解:(1)∵f( 0)=0,∴d=0
∴ x+c 及 f'(1)=0,有
∵ f'(x)≥0 在 R 上恒成立,即 恒成立
显然 a=0 时,上式不能恒成立 ∴a≠0,函数 f'( x)=a 是二次函数
由于对一切 x∈R,都有 f'(x) ≥0,于是由二次函数的性质可得
即 ,即 ,解得: a= , .
( 2)∵ .∴ .
∴ 由 f'(x)+h(x)< 0,即
即 <0,即
当 时,解集为( ,b),当 b< 时,解集为( b, ),当 b= 时,解集为 ?.
( 3)∵ ,∴f'(x)=
∴ .
该函数图象开口向上,且对称轴为 x=2m+1 .
假设存在实数 m 使函数 区间 [m.m+2] 上有最小值﹣ 5.
① 当 m<﹣ 1 时, 2m+1< m,函数 g(x)在区间 [m,m+2 ]上是递增的.
∴ g(m)=﹣5,即 .
解得 .∵ ,∴ 舍去
② 当﹣ 1≤m<1 时, m≤2m+1<m+2,函数 g(x)在区间 [m,2m+1]上是递减的,
而在区间 [2m+1 ,m+2] 上是递增的, ∴g(2m+1)=﹣5.
即
解得 或 m=﹣ ,均应舍去
③ 当 m≥1 时, 2m+1≥m+2,函数 g(x)在区间 [m,m+2] 上递减的 ∴ g(m+2) =﹣5
即 .
解得 或 m=﹣1+2 .其中 m=﹣1﹣2 应舍去.
综上可得,当 m=﹣3 或 m=﹣1+2 时,函数 g(x)=f'(x)﹣ mx 在区间 [m ,m+2]上有最小值﹣ 5.
点评: 本题考查导数的综合运用,具体包含导数的计算、恒成立问题、不等式的解法、待定系数法求函数解析式、
二次函数最值问题,分类讨论思想,对学生有一定的能力要求,属于难题.
3.(2014?孝感二模)已知函数 f (x)=alnx ﹣ax﹣3(a∈R).
(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数 y=f (x)的图象在点( 2,f(2))处的切线的倾斜角为 45°,对于任意的 t∈[1,2] ,函数
在区间( t,3)上总不是单调函数,求 m 的取值范围;
(Ⅲ)求证: .
考点 : 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.
专题 : 压轴题.
分析: 利用导数求函数的单调区间的步骤是 ① 求导函数 f′(x);② 解 f′(x)> 0(或< 0);③ 得到函数的增区间
(或减区间) ,
对于本题的( 1)在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数 a 的讨论情况;
( 2)点( 2,f(2))处的切线的倾斜角为 45°,即切线斜率为 1,即 f'(2)=1,可求 a 值,代入得 g(x)
的解析式,由 t∈[1,2],且 g(x)在区间( t,3)上总不是单调函数可知: ,于是可求 m
的范围.
( 3)是近年来高考考查的热点问题,即与函数结合证明不等式问题,常用的解题思路是利用前面的结论构
造函数,利用函数的单调性,对于函数取单调区间上的正整数自变量 n 有某些结论成立,进而解答出这类
不等式问题的解.
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