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二阶导数的意义
二阶导数就是对一阶导数再求导一次,意义如下:
( 1)斜线斜率变化的速度,表示的是一阶导数的变化率
( 2)函数的凹凸性。
( 3)判断极大值极小值。
结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零,而二阶导数大于零时,为极小值
点;当一阶导数等于零,而二阶导数小于零时,为极大值点;当一阶导数、二阶导数都等于零
时,为驻点。
一、用二阶导数判断极大值或极小值定理
设
f(x)
在
x0
二阶可导,且
f(x 0)0,f(x 0)0
.
(1)
f(x
0
) 0 f(x)
在
x
0
取得极大值;若 ,则
(2)
f(x
0
)0
,则
f(x)
在
x
0
取得极小值.若
例
试问 a 为何值时,函数
f(x)
asinx
1
sin3x
在 x
处取得极
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值?它是极大值还是极小值?求此极值.
解
f (x) acoxs
co3sx
.
f( )0
a
0,即 a2.
由假设知 ,从而有 1
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