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Matlab学习系列16.数值计算—线代篇.pdf
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![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/35453959/bg1.jpg)
16. 数值计算—线代篇
一、行列式
det(A)——矩阵 A 的行列式;
inv(A) ——矩阵 A 的逆;
rank(A)——矩阵 A 的秩;
B(: , i)=b ——将向量 b 赋给矩阵 B 的第 i 行;
[A, eye(5)]——在矩阵 A 右端,拼接 5 阶单位矩阵;
[U,s]=rref(A) ——对矩阵 A 作行变换, U 返回 A 的最简行阶梯形
矩阵, s 为行向量存储 U 的各行首个非 0 元所在列号, length(s)即为
A 的秩;
例 1 用初等行变换法求矩阵
1 2 3
2 2 1
3 4 3
A
的逆。
代码:
format short g % 省略小数位多余的 0
A=[1 2 3; 2 2 1; 3 4 3];
B=rref([A,eye(3)])
% 对矩阵 [A,I] 进行初等行变换 , 得到最简行阶梯矩阵 B
if(rank(B(:,1:3))==3)
% 判断 B 的前 3 列是否为单位阵,若是取出后 3 列,即 A 逆
A1=B(:,4:6)
else
disp('A 不可逆 ');
end
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/35453959/bg2.jpg)
运行结果 :
B =1 0 0 1 3 -2
0 1 0 -1.5 -3 2.5
0 0 1 1 1 -1
A1 = 1 3 -2
-1.5 -3 2.5
1 1 -1
例 2 解方程
2
2
3 2 1 1
3 2 2 1
0
5 1 3 2
7 1 3 2
x
x
代码:
syms x;
A=[3 2 1 1;3 2 2-x^2 1;5 1 3 2;7-x^2 1 3 2];
D=det(A)
f=factor(D) % 对行列式 D 进行因式分解
X=solve(D) % 求方程“ D=0”的解
运行结果 :D =-3*(x^2 - 1)*(x^2 - 2)
f =-3*(x - 1)*(x + 1)*(x^2 - 2)
X = -1
1
2^(1/2)
-2^(1/2)
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/35453959/bg3.jpg)
二、向量组的线性相关性
例 3 向量组
1 2 3 4 5
2 4 3 4 7
1 3 2 1 6
, , , ,
3 1 3 15 7
5 3 4 17 0
求它的秩和一个最大线性无关组,并用来表示其它向量。
代码:
A=[2 -1 3 5;4 -3 1 3;3 -2 3 4; 4 -1 15 17;7 -6 -7 0 ]';
% format rat; % 使用分数表示
rref(A)
运行结果 :
ans = 10021
010-35
0 014 -5
0 00 0 0
可见,向量组的秩是 3,
1 2 3
, ,
是一个最大线性无关组;并且
4 1 2 3
2 3 4
,
5 1 2 3
5 5
注:也可以用 [R,s]=rref(A); length(s) 得到秩。
三、线性方程组的通解
null(A, ‘r’)——返回齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系,选项 ’r’
返回有理数解,否则按分数显示;
x0=inv(A)*b ——若 A
-1
存在,直接可以得到 Ax=b 的一个特解 x0,
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/35453959/bg4.jpg)
否则只能按求解理论求解;
subs(A, k, n), 将矩阵或式 A 中的 k 用 n 代替。
例 4 求下列方程组的通解:
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 4 4 16 2
3 6 2 6 23 7
3 6 4 6 19 23
2 5 2 19 43
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
代码:
syms x;
A=[2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19];
b=[-2;7;-23;43];
[R,s]=rref([A,b])
[m,n]=size(A);
x0=zeros(n,1); % 将特解 x0 初始化为零向量
r=length(s); % 矩阵 A 的秩赋给变量 r
x0(s,:)=R(1:r,end) % 矩阵 R 的最后一列按基准元素的位置得到特解 x0
x=null(A,'r') % 得到对应齐次方程组 Ax =0 的基础解系
运行结果 :
R = 120293
001028
000000
0 00 0 0 0
s = 1 3
x0 = 3
0
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