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2007年全国研究生数学建模竞赛优秀论文选-内容.pdf
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1
一、问题重述
高速公路路面的寿命对降低高速公路的运行成本、保障运输安全有着极其重
要的意义。我国高速公路的设计者和建设者为延长高速公路路面寿命做了大量的
试验和调查研究,获得了一批宝贵的数据。
由于我国建设高速公路的历史不长,对高速公路路面寿命的客观规律的了解
还不太全面、深入(例如不同地区的高速公路路面对抗水损害性能、高温性能、
低温性能的要求是否可能不同?工程技术人员对一些现象的解释还不令人十分信
服等等)。因此需要对现有的试验数据进行研究分析,从中寻找提高高速公路路
面质量的改进方案以延长高速公路路面的寿命。
给出一批目前被认为对高速公路路面的质量有较大影响或有影响的因素的
测试数据,另外关于高速公路路面质量的四个试验指标也给出了测试数据。
一.描述高速公路路面质量的抗水损害性能、高温性能、低温性能的四个
指标之间有没有数量关系?如果有数量关系,请建立它们之间的数学模型。
二.建立描述高速公路路面的抗水损害性能、高温性能、低温性能的四个
质量指标和你们认为影响高速公路路面质量的最重要的和比较重要的因素之间
比较精确的数学模型,你们选择这些因素的理由是什么?根据模型你们认为采用
什么样的方案可以提高高速公路路面的质量。
三.若从理论上探讨集料的筛孔通过率(即级配组成,指混合料中粗细不
同集料的构成比例)与路面压实度的上界(数学意义下的上界)之间的数量关系,
你们有何见解?
四.沥青(在数据表格中混合料类型中含 25 是普通沥青,是其他数字如
13、16 或 20 的是改性沥青)、碎石质量对高速公路路面抗水损害性能、高温性
能、低温性能究竟有没有影响,你们的观点是什么?根据是什么?不同厂家、不
同产地的但型号相同、类型相同的沥青、碎石质量对高速公路路面抗水损害性能、
高温性能、低温性能究竟有没有影响,你们的观点是什么?根据又是什么?
五.根据你们对数据分析的结果,现在测试高速公路路面质量的试验项目中
是否有重要的遗漏?你们对高速公路建设部门有什么建议?
二、问题分析
问题一:要检查四个指标之间的数量关系可以从相关或回归下手,本题的四
个检验指标在实际中为检验路面的不同方面,它们平行存在,因此回归方法不适
用,重点在相关性。考察少数指标的相关性首先应当观察指标之间的散点图,但
四个指标在两两交互散点图中分布混乱,没有线形或常见非线性曲线关系。计算
四个指标之间的 pearson 相关系数和 spearman 相关系数都小于 0.5,没有明显
的相关性。
而灰色关联分析体现一种模糊关联的思想,它衡量了两个序列的整体相似性
[1]。首先对四个检验路面质量指标的序列分别做一次累减,然后在累减后的四
个指标序列中任取两列,计算这两列的所有局部关联系数,通过折线段上局部关
联系数均值的计算再取绝对值,就可以克服没有明显线性关系和常见曲线关系而
导致貌似无相关的弱点,反映出复杂数据的相关性。
问题二:要找出影响高速公路路面质量的最重要和比较重要的因素,就应该
从检验高速公路质量的指标入手,考察公路质量在接受质量检验时,运用逐步回
归法就能够找出对质量检验指标起显著性作用的质量指标,即是重要的指标,在
这些表现在显著的重要指标中,能够综合解释多个公路质量检验指标和重点解释
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/88986831/bg2.jpg)
2
某个公路质量检验指标的公路质量指标为最重要指标,其次为较重要指标。逐步
回归中的偏相关系数,就可以精确反映它们之间的关系。
问题三:以最小空隙率作为联结路面压实度上界和级配组成的桥梁,把通过
4.75mm 直径筛孔的细集料形状看成是规格不同的球体,并用两个大小不同的球
体简化模型,得出了当两球体积相差很大时的最小空隙率和最大压实度上界,且
此时的空隙率不随小球的直径的改变而变化。
问题四:首先根据专家建议认为区分沥青的指标是改性沥青与否,碎石质量
是由岩性来衡量。要知道沥青、碎石质量对高速公路路面抗水损害性能、高温性
能、低温性能究竟有没有影响,就应该比较改性沥青与普通沥青在这些检验指标
上的区别,比较石灰岩、玄武岩和其他岩性在这几项检验指标上的区别。应当使
用方差分析,为了得到精确的模型,使用 GLM 广义方差分析来进行方差分析。可
得到期间是否有差别,以及差别的具体大小。
要考虑不同厂家、不同产地的但型号相同、类型相同的沥青、碎石质量对高
速公路路面抗水损害性能、高温性能、低温性能究竟有没有影响,就应当采用两
因素交互作用的方差分析。
问题五:根据前面的分析结果,综合给出政策建议。
三、基本假设
1.对于所有数值型缺失数据,通过 Litter’s MCAR 检验,认为是
[1]
随机缺
失
,
采用 EM 缺失值算法填补;
2.随机误差服从古典假设;
3. 通过筛孔 4.75 以上的是粗料,4.75-0.075 之间是细料,0.075 以下视为矿
粉;
4. 混合料类型中含 25 的一律视为普通沥青,其余混合料类型为改性性沥
青;
5. 沥青只分为普通沥青和改性沥青的区别;
6.碎石质量是按照岩性区分的;
7. 碎石形状都视为球体。
四、符号说明
i
t
:高速公路路面质量第 i 各性能指标的关联度序列
0
x
:待求关联度序列 0
1
x
:待求关联度序列 1
n:元素个数
2
x
:
0
x
的一阶差分序列
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/88986831/bg3.jpg)
3
3
x
:
1
x
的一阶差分序列
M:折线段数
i
:每段折线上的关联系数
ij
(
1 4i j
):高速公路路面指标序列
i
t
和
j
t
的关联度
i
Z
(i=1,2,……10):影响高速公路路面质量的因素指标
i
Y
(i=1,2,3,4):高速公路路面质量的检验指标
ij
r
:相关系数
i
V
:方差贡献
五、问题求解
5.0 数据处理
1.异常数据处理
对每个指标进行描述性观察,观察其最大值、最小值、均值和散点图等,发
现拉弯应变的第 226 个观测数据为 31450,是均值的 10 倍左右。因此认为是数
据录入时小数点位置错误,故将其值缩小 10 倍。
2.缺失值处理
《2007 年 C 题 附件 1 配合比报告统计》中有大量的缺失指,若果全部删除
可能损失大量的信息,因此应当设法填补缺失值。
数据的缺失可以分为完全随机缺失、随机缺失和非随机缺失。经过 Litter
‘MCAR 检验,p 值小于 0.05,认为《2007 年 C 题 附件 1 配合比报告统计》中
的缺失值情况属于随机缺失,即有缺失值的变量其缺失情况的发生与数据集中其
他无缺失值的变量有关。这种情况下,缺失值不仅会导致损失信息,更可能导致
分析结论发生偏差。针对随机缺失,我们运用 SPSS 软件的 Missing Value
Analysis 菜单用 EM 算法估计出连续型数值变量的缺失值。
EM(Expectation-Maximization,期望最大化)迭代方法主要用于不完整数
据下的贝叶斯网络参数
[2]
学
习
。在进行贝叶斯网络参数学习过程中,数据集包括
变量集和训练样本集,每个数据集是一组变量值,不同的数据集可能包含不同的
变量, 这就意味着数据集可能是不完整的,其中有的可能并不包含所有变量的
值。当训练样本集完整时可以采用 M A P 或 M L E 进行参数估计,但是当样本
数据不完整时,如当父节点集的样本数目为 0 时, M L E 算法就会产生溢出问
题,从而无法计算。EM 算法是一种从不完整数据集中计算 M L E 估计和 M A P
的通用算法, L a u r i t e n 已经提出 E M 算法可以应用于数据缺失情况下
的贝叶斯网络的参数学习。E M 算法的主要思想是给出 一个初始估计参数值,
然后不断地去修正它,使得 M L E 或 M A P 的值为最大,即最大化函数
[ln ( / )]
E p Y
,其中 Y 为全部训练样本( 可观测和不可观测变量的数据),P 为
条件概率。
3.通过筛孔百分率
在《2007 年 C 题 附件 1 配合比报告统计》中,通过筛选百分率有 13 个指
标,为了便于分析,将这是三个指标综合为粗细比率指标。根据相关专业
[3]
资
料
,
4.75mm 是区分碎石粗细的分界点,大于 4.75mm 的是粗石,小于 4.75mm 的是细
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/88986831/bg4.jpg)
4
石。将通过筛孔百分率大于 4.75mm 的粗石比重除以小于 4.75mm 的细石比重得到
粗细比率指标。
5.1 问题一
5.1.1 模型建立:
把 TSR、S0、车辙和拉弯应变四个检验路面质量指标分别看成四个待求关联
度的序列
1 2 3 4
, , ,t t t t
,再把这四个序列两两组合,求灰色关联度。
设
0
x
、
1
x
表示两个待求关联度序列
,
i j
t t
(
1 4i j
),其元素个数都为 n。
1.
作一次累减生成,得:
x (i) x (i 1) x (i),x (i) x (i 1) x (i);
2 0 0 3 1 1
2.
计算所有局部关联系数:
① 先记折线段数为 m=n—l,即
0
x
、
1
x
各点的连线;
② 计算每段折线上的关联系数,
, i 1, 2..n 1;
i
若
x (i) 0,
2
记
x ( i )
3
x ( i )
2
,则
2
( 1)
i
4
1
;
若
x (i) 0 x (i) 0,
2 3
且
则
0
i
;
若
x (i) 0 x (i) 0,
2 3
且
则
0 m=m-1
i
且
3.
求关联系数的均值并取绝对值得到第 i 个序列与第 j 个序列的关联度:
n-1
i
i 1
1
m
ij
5.1.2 问题一模型求解
把 TSR、S0、车辙、弯拉应变四个指标两两组合,分别用上面的模型求其灰
色关联度值,可得下表:
表 1:四个检验路面质量指标的灰色关联度
TSR S0 车辙 弯拉应变
TSR 0.1627 0.0005 0.0073
S0 0.0037 0.0012
车辙 0.0917
弯拉应变
故:
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/88986831/bg5.jpg)
5
12
=0.1627,表示TSR和S0之间关联度为0.1627;
13
=0.0005,表示TSR和车辙之间的关联度为0.0005;
14
=0.0073,表示TSR和弯拉应变的关联度为0.0073;
23
=0.0037,表示S0和车辙的关联度为0.0037;
24
=0.0012,表示S0和拉弯应变的关联度为0.0012;
34
=0.0917,表示车辙和拉弯应变的关联度为0.0917;
根据
[4]
文
献
,计算关联度的真正目的是用其考察因素之间的关联性,它是通
过两序列的关联性来体现的。两序列的关联性是指两序列所连折线的整体相似
性,而折线的整体相似性是以局部的相似性为基础的,因此用局部相似程度的均
值来度量整体的相似性,即两因素的关联度。这样局部相似性(即两线段的相似
性)的度量对关联度的计算起决定性作用。而这样计算出来的灰关联度值大的两
序列组合,就代表它们的相对关联性也较大。
结论:TSR 和 S0 的灰关联度最大,车辙和弯拉应变的灰关联度次之,余下
的四对组合灰关联度相对较小。所以我们可以认为,指标 TSR 和指标 S0、指标
车辙和指标弯拉应变,这两对组合指标应该是分别受一些相同因素控制和影响
的,从而可以和第二问联系起来。算法流程图详见附件。
5.2 问题二
5.2.1 模型建立
将油石比、粗细比率、空隙率、矿料间隙率、饱和度、粉胶比、毛体积密度、
最大理论密度、%Gmm(最初)、%Gmm(最大)这十个因素指标分别对 TSR、S0、车辙
和拉弯应变四个检验路面质量指标进行逐步回归,找出影响高速公路质量的最重
要和比较重要的因素。
逐步回归分析的基本思想是有进有出: 先确定包含若干个自变量(影响总体
评价的因素
i
Z
,1≤i≤m)的初始集合;从集合外的自变量中引入一个对因变量路
面质量检验指标(Y)影响最大的变量进入回归方程;对已选入回归方程中的变量
逐个进行检验,当原引入的变量由于后面变量的引入而变得不再显著时,将其剔
除。引入一个变量或剔除一个变量, 都为逐步回归的一步,每一步都要进行 F 检
验,以确保每次引入新变量之前回归方程中只包含对因变量影响显著的变量。反
复这个过程,直到既无显著变量引入回归方程、也无不显著变量从回归方程中剔
除
[5]
为
止
。
设某个公路质量检验指标为因变量 Y,有 m=10 个自变量 Z(路面质量指标),
把 Y 看作是第 11 个自变量,即
1
m
Y Z
:
1 K 2K m K (m + 1)K
Z , Z Z Z ( K 1, 2 N )
… …
,
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