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2007年全国研究生数学建模竞赛优秀论文选-食品卫生安全保障体系的数学模型研究(正文).pdf
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1 问题的重述
1.1 基本情况
我国幅员辽阔,人口众多,每天都消费大量的各种食品。建立完善的食品卫生安全
保障体系和风险评估体系关系国计民生和全民身体健康,意义重大。为此,我国曾在 12
个省、自治区、直辖市开展过三次大规模的居民总膳食研究调查,集中力量对众多污染
物中少数几种危害面广、后果严重的污染物,如:铅、镉、汞、砷、有机磷、有机氯等
实行监控,为开展食品安全评估提供了科学的依据。但是和美国、欧盟等一些发达国家
比较,我国食品卫生安全评估体系和风险预警体系还不够完善,存在一些亟待解决的问
题。
1.2 要解决的问题
1.2.1 设计抽样调查方案,使得调查方案能够尽量反映全国的实际情况。
1.2.2 建立人群食物摄入量模型。用于估计不同地区、不同性别、不同年龄、不同
季节、不同劳动强度、不同经济收入的人群各类食品的一天摄入量。
1.2.3 建立污染物分布模型。用于反映各类食物中各种污染物的分布规律。
1.2.4 建立风险评估模型。用于根据膳食模型和污染物分布模型数据结果,对某一
时段食品安全作出评估。
2 问题的假设
2.1 所划分的各类食品包含的品种能够代表当前主流品种。
2.2 根据饮食习惯等划分的全国四区 12 个省能够代表全国的基本情况。
2.3 劳动强度、经济收入分别划分为轻、中、重和低、中、高三种情况。
2.4 食物中含有的主要污染物为:铅、镉、汞、砷、有机磷、有机氯等六种。
2.5 某一地区,某一时间段内,具体某类食物中的食物品种认为其主要污染物含量
相同。
2.6 例行检测抽调的样本数量远远大于偶然性检测抽调的样本数量。
2.7 文中调查、检索、引用的数据科学合理并具有一定的代表性。
3 符号说明
i
A
:划分的第
i
个大区;
i
B
:抽调分析的第
i
个省;
i
b
:第
i
B
个省抽调分析的
i
b
个单位;
i
C
:省抽调分析的第
i
个下属单位;
i
c
:第
i
C
个下属单位抽调分析的
i
c
个再下属单位;
T
C
:总费用固定、估计量的方差最少时的费用函数;
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h
:第
h
层样本的抽样比;
P
:各下属单位抽样得到的总体样本概率;
i
P
:按照行政区域分层得到的第
i
层抽样概率;
i
M
:抽调的第
i
个样本;
m
:从各大区抽取各省(自治区)的样本个数;
n
:从各省(自治区)抽取各下属单位的样本个数;
1
N
,
N
,
2
N
:
神经网络的输入单元数层数、隐含层单元数和输出层单元数;
i
WR
:第
i
类污染物;(铅、镉、有机磷、有机氯、汞、砷);
i
W
:第
i
层样本的层权值,也用
h
W
表示;
h
S
:第
i
层样本的层方差;
1
f W
:误差代价函数;
0 1 2 n
L(a a a a )
, , ……
:多项回归分析的似然函数;
q
P
:
表示北一区、春季、谷类食品关于铅元素的摄入量的概率值;
s
P :选中
1
W
为下一代个体的次数;
Y
:样本总体总和;
ˆ
PPS
Y
:总体总和 Y 的估计量;
i
ZH
:第
i
类污染物国家安全标准;
ij
YFD
:第
i
类食物第
j
类污染物 99.999%的右分位点;
x
i
f(
)
:第
i
类食品污染物含量分布密度函数;
,a b
:分布验证检测区间;
:分布验证相似度临界值;
F x
(
)
:抽样样本总体分布函数;
4 抽样调查方案的设计
4.1 抽样调查方案设计分析
居民膳食摄入量调查设计面积广,用户众多,不可能机械的进行普遍地毯式调查,
即使调查的样本很多,上百万甚至上千万,但对于 13 亿中国人口来说仍然是沧海一粟。
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在这种情况下,如何设计抽样调查方案,使得调查的少样本数据具有普遍的代表性显得
尤为重要。同时,食物摄入量模型的建立不能无中生有,必须依据调查的相关数据建立,
因此,只有样本数据具有代表性且符合实际情况,才有可能建立具有全国通用型的模型,
较准确的估计不同情况下人群各类食品的一天摄入量。
抽样调查方案有以下特点:一是总体在不断变化,这给抽样调查带来两个方面的困
难:一是抽样框难于确定不易获得有关抽样样本;二是由于小范围内对总量估计的高估
和低估。二是需要满足多层次的推断。抽样调查不只是满足总体这个层次的估计,而且
也希望尽量满足多个层次的估计需要。
抽样调查方案的设计应充分考虑不同地区、不同性别、不同年龄、不同季节、不同
劳动强度、不同经济收入几种情况下人群不同种类食物的摄入量。为了尽量减少抽样调
查的工作量,可以根据一定的标准、原则和常识对以上六个变化的量进行分层分析,使
每一层在一定范围内具有较高的代表性。因此,我们需要设计一种多变量多层次抽样调
查方案,使得这样的抽样调查方案既考虑了样本误差的控制,又能显著降低样本调查的
样本容量。它最大的特点是可以将大样本问题转换成相对小的样本问题,减少了工作量
和对样本数据绝对数量的要求。
大样本向小样本转换,为了保证小样本能够代表大样本说明问题,下一步需要对样
本数据进行目标量及方差估计,如果样本符合标准,则相信根据设计的抽样调查方案抽
得的样本数据具有典型性和代表性;如果不符合则采用分层不放回追加,虽然相应的估
计方法较为复杂,但这种追加方法所需追加样本较少即可使得样本转换满足标准。
4.2 多变量多层次食物摄入量混合抽样调查方案设计
4.2.1 抽样调查方案设计的目标
抽样调查是一项技术,更是一项艺术,创新性和应用性很强。多变量多层次混合抽
样调查方案设计的目标是期望用尽可能少的样本高精度地估计总体的数量特征。多层次
均匀试验设计所选择的抽调点在实验范围内分布均匀,且抽调样本数目大大地小于其他
实验方法的抽调样本数目。
4.2.2 基本思路
分层实验设计关键是如何进行分层,将具有相同或者相似属性的对象归为一类,视
为同一层次。为此,根据中国总膳食研究及相关文献资料对食物进行分层,然后确定目
标变量,显然,本抽样是多变量多层次的混合抽样调查,方案设计应兼顾考虑,不可偏
废。样本抽查要有比例,例如根据全国年龄分布比例,劳动强度分布比例、经济收入分
布比例等确定各种类型的群体抽样比例。因此,第一步确定分层标志的选择和样本抽查
比例;第二步是采用混合多层次多变量抽样;第三步是分层随机抽样;最后进行抽样误
差估计。
4.2.3 抽样调查方案的设计
4.2.3.1 混合分层设计
(1)食物分层
根据中国营养学会提供的居民平衡膳食宝塔(图 4-1)和美国 2005 年膳食金字塔(图
4-2),将食品进行分层如表 4-1:
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图 4-1 中国居民平衡膳食宝塔 图 4-2 美国 2005 年膳食金字塔
表 4-1 食物分层表及各层包含食品
编号 (A) 食品分层 包 括
A1 谷 类 面粉、大米、玉米粉、小麦、高粱等
A2 蔬 菜
根菜类(萝卜等)、鲜豆类(豆角、蚕豆等)茄果瓜菜类(茄
子、黄瓜等)、葱蒜类、根、茎、叶类(白菜、芹菜等)等
A3 水 果 苹果、梨、桔子等
A4 肉 类 猪、牛、羊、鸡肉等及其制品
A5 蛋 类 鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋及其制品等
A6 水 产 鱼、虾、蟹、贝克类等及其制品
A7 乳 类 奶粉、酸奶、奶酪酥油等及其制品
A8 薯 类 土豆、山芋、洋芋等及其制品
A9 豆 类 黄豆、豆腐、豆制品等
A10 饮 料 类 碳酸饮料、茶饮料等
A11 酒 饮 料
发酵酒(啤酒、黄酒等)、蒸馏酒(曲酒、二锅头等)、露
酒(密酒、香雪酒等)
(2)地区分层
我国地域辽阔,各地居民饮食习惯差异较大,膳食结构不尽相同,因此,分地区对
居民各类食品摄入量进行研究非常必要。经过大量检索文献和分析资料的基础上我们发
现:中国南方、北方两大地区饮食各有特点而又存在较大的差异。例如北方主食、水果、
奶制品以及油脂的摄入量高于南方;南方主食品种比较单调,以大米为主,但豆类、蔬
菜、肉类、水产品和酒类摄入量明显高于北方。因此,我们将地区进行如下划分:
表 4-2 地区分层及试点
南北地区 划分地区 试点地区
北方
北一 黑龙江、辽宁、河北
北二 河南、陕西、宁夏
南方
南一 上海、福建、广东
南二 湖北、四川、广西
(3)经济收入分层
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经济收入水平划分有多种标准,这里我们以家庭人均收入水平作为确定收入者的唯
一标准。这种方法指向准确,方法简便,概括性强,可以排除各类复杂因素的干扰,不
会引起较多争议。收入是综合性的,是基本前提,人们能够获得某种程度的收入,往往
决定于他们从事的是什么职业,达到何种教育程度和技能水平,等等。同时,一定的收
入水平在某种程度上又可以决定人的生活方式、受教育程度、积累财产及各类生产要素
的能力,甚至思想观念的倾向,等等。采用城乡居民家庭人均收入标准,还可以真实反
映每个居民或每个家庭成员生活与发展的实际条件,且符合国际通行做法。
在对经济收入水平进行划分时,我们只要得出中等收入者的标准,即可推出高收入
者、低收入者的标准。在我国,现阶段由于城乡发展差距和收入差距巨大,因而如何确
定中等收入者的标准,是一个难度很大的问题。关于中等收入者标准的论述很多,也有
一定的道理,但至今还没有一个统一的标准。当然,无论如何,在不同发展阶段,中等
收入者比重不应是固定的,而应是不同的。在模型中,我们将中等收入者的标准定在
10000 元以上(包含 10000 元)、40000 元以下(不包含 40000)。原因有二:一是中等
收入者收入的起点标准应比目前我国人均国内生产总值略高一些,接近职工年平均工资
水平,能保证人均食品消费支出比例低于 25%,而且要适当贴近国际平均的中等收入标
准线。这样的家庭人均收入水平才能基本支持人力资源发展或人的素质较全面提高。
2002 年,我国人均国内生产总值约 9000 元,职工年平均工资约 12000 元,能够支持 25%
左右食品消费的城镇家庭人均收入水平也大致在 10000 元左右。此外,近期世界银行的
一项研究表明,全球中等收入层的人均收入起点标准为 3470 美元,经购买力平价调整
后大约相当于 14500 元人民币。把我国中等收入者家庭人均收入起点标准定在其三分之
二左右的水平上比较合适。我国城乡居民家庭收入调查中中低收入与最高收入家庭人均
年收入的实际差别在 4 倍左右;我国高收入家庭人均年收入标准应能大致达到发达国家
人均 GDP 的初始标准,世界银行近期的研究结果将全球中等收入层的高限确定为 8000
美元,通过购买力平价调整,应在 40000 元人民币左右;将 40000 元作为高收入者的起
点标准,其人均年收入可超过 10 万元,接近目前多数人对高收入者的认定标准。
依据上述标准,我们把经济收入水平划分为高、中、低三个层次。具体划分如下:
表 4-3 经济收入分层及分层便准
经济收入水平 收入(元)
高 <10000
中 10000~40000
低 ≥40000
(4)劳动强度分层
GB 3869-1997《体力劳动强度分级》标准将体力劳动强度分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ级。
该标准适用于以体力活动为主的劳动,但在模型建立过程中,我们还需要考虑脑力劳动
与食物摄入量的关系。因此,我们依据《成人活动水平(PAL)分级》,综合考虑体力
劳动和脑力劳动,将劳动强
度分为轻、中、重三个级别。如下表所示:
表 4-4 劳动强度分层及分层标准
劳动强度 职业工作及时间分配 工作内容举例
轻
75%时间坐或站立
25%时间站着活动
办公室工作、修理电器钟表、售货员
酒店服务员、化学实验操作、讲课等
中 25%时间坐或站立 学生日常活动、机动车驾驶、电工安装、
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阿拉伯梳子
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