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2007年全国研究生数学建模竞赛优秀论文选-论文 - 副本.pdf
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1
一、问题重述
自 1959 年美国的英格伯格和德沃尔制造出世界上第一台工业机器人“尤尼
梅特”开始,近半个世纪以来,机器人的研制和应用以惊人的速度发展并取得长
足的进步。当今世界,机器人的应用领域已十分广泛,包括工业生产、海空探索、
医疗康复和军事活动等,此外,机器人已逐渐在医院、家庭和一些服务行业获得
应用。从生产车间中的焊接机械手,到水下自治式机器人,从娱乐性的拳击机器
人,到伊拉克战场上的无人驾驶机,机器人已经与我们的日常生活息息相关。
机器人通常分为关节式机器人(或称机械臂、机械手、机器人操作臂、工业
机器人等)和移动式机器人。一般来说,前者具有更多的自由度,而后者的作业
范围则更大一些。
以某型号机器人为例,其示意图见图 1:
图1 机器人结构图
这种机器人一共有 6 个自由度,分别由六个旋转轴(关节)实现,使机器人的末
端可以灵活地在三维空间中运动。为了便于分析和计算,我们对机器人结构进行
第一个自由度
± 180度
第二个自由度
± 125度
第三个自由度
± 138度
第四个自由度
± 270度
第五个自由度
-133.5 ~120度
第六个自由度
± 270度
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/88986840/bg2.jpg)
2
简化,简化后的数据见图 2 和参数表 1。这里用七条直线段表示机器人的七个连
杆,连杆之间用所谓的旋转关节连接,已知 AB=140mm,BC=255mm,CD=255mm,
DE=65mm。根据旋转的方向分成两类关节,旋转轴分平行连杆的(如图 1 的自
由度一、四、六,对应于图 2 中的 F,G,H)和垂直连杆的(如图 1 的自由度
二、三、五,对应于图 2 中的 B,C,D)两种,前者如笔帽的转动方向,后者
如摇柄的转动方向。每一个关节对应一个角度
i
,这个角度表示前一个连杆方向
到后一个连杆方向转角(对于 B,C,D),连杆方向为 AB
、
BC
、
CD
、
DE
,
或
者相对于初始位置的转角(对于 F,G,H),假设机器人的初始位置是在一个
平面上的(y-z 平面)。为了使机器人运动得更加灵活允许关节的转角超过 360°
的。
图 2 机器人的尺寸图
机器人关于六个自由度的每一个组合 ),,,,,(
654321
,表示机械臂的一
个位姿,显然每个位姿确定顶端指尖的空间位置 X:
Xf
)(
。假定机器人控
制系统只能够接收改变各个关节的位姿的关于连杆角度的增量指令(机器指令)
),,,,,(
654321
P ,使得指尖(指尖———图 2 中的 E 点,
具有夹工具、焊接、拧螺丝等多种功能,不过在这里不要求考虑这方面的控制细
节)移动到空间点 X′,其中各个增量
i
只能取到-2, -1.9, -1.8, ┅,1.8, 1.9, 2 这
41 个离散值(即精度为 0.1°,绝对值不超过 2°)。通过一系列的指令序列
n
PPPP ,,,,
321
可以将指尖依次到达位置 X
0
,X
1
,┅,X
n
,则称 X
0
,X
1
,┅,X
n
为从指尖初始位置 X
0
到达目标位置 X
n
的一条路径(运动轨迹)。根据具体的目
标和约束条件计算出合理、便捷、有效的指令序列是机器人控制中的一个重要问
题。我们约定直角坐标系的原点设在图 2 的 A 点,z 轴取为 AB 方向,x 轴垂直
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/88986840/bg3.jpg)
3
纸面而 y 轴则在基座所固定的水平台面上。
1.根据市场需求,机械臂制造厂打算为他们的产品研发一个软件系统,能
够直接将用户的运动命令自动转换成机器指令序列。即为这类机器人设计一个通
用的算法,用来计算执行下面指定动作所要求的指令序列,并要求对你们算法的
适用范围、计算效率以及你们的近似算法所造成的误差和增量
i
离散取值所造
成的误差大小进行讨论(不考虑其他原因造成的误差):
①.已知初始位姿 Φ
0
和一个可达目标点的空间位置(O
x
, O
y
, O
z
),计算指尖
到达目标点的指令序列。
②.要求指尖沿着预先指定的一条空间曲线 x = x(s), y = y(s), z = z(s), a ≦ s
≦b 移动,计算满足要求的指令序列。
③.在第①个问题中,假设在初始位置与目标位置之间的区域中有若干个已
知大小、形状、方向和位置的障碍物,要求机械臂在运动中始终不能与障碍物相
碰,否则会损坏机器。这个问题称机械臂避碰问题,要求机械臂末端在误差范围
内到达目标点并且整个机械臂不碰到障碍物(机械臂连杆的粗细自己设定)。
2. 应用你的算法就下面具体的数据给出计算结果,并将计算结果以三组六
维的指令序列(每行 6 个数据)形式存放在 Excel 文件里,文件名定为 answer1.xls,
answer2.xls 和 answer3.xls。
假设在机械臂的旁边有一个待加工的中空圆台形工件,上部开口。工件高
180mm,下底外半径 168mm,上底外半径 96mm,壁厚 8mm。竖立地固定在 xy
-平面的操作台上,底部的中心在 (210, 0, 0)。
①.要求机械臂(指尖)从初始位置移动到工具箱所在位置的 (20,-200, 120)
处,以夹取要用的工具。
②.如果圆台形工件外表面与平面 x = 2 z 的交线是一条裂纹需要焊接,请
你给出机械臂指尖绕这条曲线一周的指令序列。
③.有一项任务是在工件内壁点焊四个小零件,它们在内表面上的位置到 xy
平面的投影为(320,-104)、(120,106)、(190,-125)和(255,88)。要求机械臂
从圆台的上部开口处伸进去到达这些点进行加工,为简捷起见,不妨不计焊条等
的长度,只考虑指尖的轨迹。
3.制造厂家希望通过修改各条连杆的相对长度以及各关节最大旋转角度等设计
参数提高机械臂的灵活性和适用范围。请根据你们的计算模型给他们提供合理的
建议。
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/88986840/bg4.jpg)
4
二、模型假设与名词解释
1.在对连续的曲线进行焊接时,可以认为实际中每一次进行焊接,焊点并非
只是几何意义上的点,而是一小段连续焊点。
2.机械臂到达目的点并非一定指指尖接触了目的点,只需使得指尖和目的点
之间的距离小到足够的小即可。
3.圆台的壁厚是指圆台表面法线截得的壁的长度,为 8mm。所以,不难求得,
圆台的下底内半径为 159.3837mm,上底内半径为 87.3837mm。
4.将机械臂指尖移动到一点以完成某项任务时,假设对最后一个关节的姿态不
做特殊要求。在实际中,要完成某项任务(如夹取物品),可能会对最后一
个关节的姿态有要求(如垂直某平面),但此处我们无法得到机械臂和所进
行的任务的具体信息,因此暂不考虑这一点。
注:上述假设是模型讨论过程中的全局性假设,在后面的分步讨论中我们可能引
入新的局部性假设。
名词解释:
位置——机械臂指尖在基座坐标系中的坐标。
位姿——机器臂关于六个自由度的一个组合 ),,,,,(
654321
。
三、全局符号说明
0
1
T
——从关节 1 坐标系转换到以 A 为原点的坐标系的转换矩阵。
j
i
T
——
( , 1,..., 6, 1,..., 6)
i j i j
从关节 i 坐标系转换到关节 j 坐标系的转换矩
阵。
0
6
T
——从关节 6 坐标系转换到以 A 为原点的坐标系的转换矩阵。
注:上述符号是模型讨论过程中的全局性符号,在后面的分步讨论中我们可能引
入新的局部性符号。
四、问题分析
1、对机械臂的理解
机械臂,或机械手,是由一串用转动或平移关节连接的刚体(杆件)组成。每
一对关节一杆件构成一个自由度。杆件的编号由手臂的固定基座开始,固定基座
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/88986840/bg5.jpg)
5
可看成杆件0,第一个运动体是杆件1,依次类推,最后一个杆件与工具相连;
关节1处于连接杆件1和基座之间,每个杆件至多与另外两个杆件相联,而不构
成闭环。
任何杆件i都可以用两个尺度表征,杆件i的长度
i
a
是杆件上两个关节轴线
的最短距离;杆件i的扭转角
i
是两个关节轴线的夹角。
2、对机械臂位姿和位置的理解
机器人关于六个自由度的每一个组合
),,,,,(
654321
,表示机械臂的一
个位姿,显然每个位姿确定顶端指尖的空间位置 X:
Xf
)(
。假定机器人控
制系统只能够接收改变各个关节的位姿的关于连杆角度的增量指令(机器指令)
),,,,,(
654321
P ,使得指尖移动到空间 X′。这个从
到X
地变换需要用到相应的空间转换矩阵。
为描述相邻杆件件平移和转动的关系。Denavit 和 Hatanberg(1955)提出了
一种为关节链中的每一个杆件建立附体坐标系的矩阵方法。D-H 方法是为了每
个关节处的杆件坐标系建立 4X4 齐次变换矩阵,表示它与前一个杆件坐标系的
关系。这样逐次变换,用“手部坐标”表示的末端执行器可被变换并用基座坐标
表示。
3、对机械臂位置变换的理解
对于这样的有 6 个自由度的机械臂来讲,每个关节处都有相应地可以自由转
动的范围
min max
( , )
i i
,而且每个关节处每次转动的角度也是有限的
( 2 , 2 )
。那么,
在没有障碍物的情况下,要将一个机械臂指尖从初始点移动到目的点,并不一定
能在各个关节一次转动内达到。所以,要先得到从起始点到目标点指尖各个关节
处转动的角度,然后使各个关节点处每步尽可能地转动最大角度(
2
),最后,
在剩下的
2
以内完成该关节点处转动的最终一步,这就是模型要求解。
在已知初始点和目的点的位置和转换矩阵后,D-H 运动学的逆问题可以求
解,即可以得到各个关节点处应该转动的角度的总和。但是,在一般的问题中往
往只知道机械臂的起始点和目标点,而并不清楚它们之间转换的矩阵。所以,我
们必须采用其他的方法求得这些转动角度。
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