【立体几何初步】本章主要涉及高中数学中的立体几何知识,包括空间几何体的性质、体积、表面积的计算以及异面直线所成角的概念。练习题中的知识点涵盖以下几个方面:
1. **异面直线所成角**:题目1通过补成直四棱柱的方法求解异面直线1与1C的夹角,体现了立体几何中处理异面直线所成角的基本策略。求解异面直线所成角的关键是找到合适的转化方式,将其转化为平面几何问题,然后运用三角函数求解。
2. **几何体的三视图及其体积**:题目2、3、4、5、6通过给出几何体的三视图,要求计算几何体的体积。这涉及到对投影的理解,以及如何根据投影图还原几何体的实际形状,再利用体积公式进行计算。
3. **球的表面积和体积**:题目5、9、12中涉及了球的表面积和体积的计算。球的表面积公式是\(4\pi r^2\),体积公式是\(\frac{4}{3}\pi r^3\),其中r是球的半径。需要根据几何体的结构找出球心的位置,进而确定球的半径。
4. **棱锥和棱柱的性质**:题目7、13考察了直四棱柱和三棱柱的性质,包括平行性、面与面的关系以及二面角的求解。例如,题目7中异面直线1B C与1AD所成角的求解,以及题目13中证明1BC//平面1A CE,并求二面角的余弦值。
5. **几何体的截面问题**:题目4、5通过给出几何体被平面截取后形成的形状,求解球的表面积。这类问题需要理解截面的性质,以及截面与几何体的关系。
6. **组合体的体积**:题目10中,通过折叠纸片形成三棱锥,探讨了不同形状组合体的体积变化。这类问题通常涉及到动态几何和空间想象力。
7. **距离和高度的计算**:题目14求解点C到平面POM的距离,涉及到线面垂直和点到平面距离的计算。点到平面的距离是通过建立空间直角坐标系,利用点到平面距离公式求解的。
8. **圆锥的侧面积和底面积**:题目9中,通过已知圆锥的顶点、母线和底面的相关角度及面积,要求求解圆锥的侧面积。圆锥的侧面积公式是\( \pi r l \),其中r是底面半径,l是母线长度。
以上是基于题目内容总结的立体几何初步中的关键知识点,涵盖了异面直线、几何体三视图、体积、表面积、球的性质、棱柱和棱锥的性质等多个重要概念。通过这些题目,学生可以巩固和提升在立体几何领域的理解和应用能力。