【知识点】
1. 正弦定理:在任何三角形中,各边与其对应角的正弦之比相等,即 \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \),用于解决边角互换的问题。
2. 余弦定理:对于任意三角形,任一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与夹角余弦的两倍积,即 \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \)。
3. 二倍角公式:\( \cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1 \) 和 \( \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta \),在解决与角度倍数有关的问题时常用。
4. 三角形面积公式:\( S = \frac{1}{2}ab\sin C \),其中 \( S \) 为三角形面积,\( a \) 和 \( b \) 是两边,\( C \) 是它们夹角。
5. 余弦定理变形:通过 \( \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \),可以求解三角形的边长或角度。
6. 三角形重心性质:三角形的重心到顶点的距离是对应边中点到顶点距离的2/3倍,可用于求解重心坐标或长度问题。
7. 三角形外接圆半径公式:对于任意三角形,其外接圆半径 \( R \) 满足 \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \)。
8. 边角关系:在锐角三角形中,边长和角的正弦、余弦之间存在密切联系,例如 \( a = b\sin A + c\sin B \)。
9. 最值问题:利用余弦定理和基本不等式,可以求解三角形边长或面积的最大值或最小值。
10. 平行四边形法则:在向量运算中,两个向量的和的模平方等于两个向量模平方的和加上两向量夹角的余弦值乘以两向量模的平方。
11. 角度和边长的关系:已知一个角的正弦值和两邻边,可以通过正弦定理求解未知边长。
12. 解三角形中的三角恒等式:如 \( \sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B \),在解决三角形中的角度关系时非常有用。
【应用举例】
1. 在第1题中,利用余弦定理 \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \) 求出 \( AB \) 的长度。
2. 第2题中,根据正弦定理 \( \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \) 和三角恒等式求解角度 \( C \)。
3. 第4题中,通过三角恒等式 \( \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \) 来判断等式成立的条件。
4. 第13题中,使用余弦定理求出角 \( B \) 的大小,并结合面积公式 \( S = \frac{1}{2}ac\sin B \) 求解面积最大值。
5. 第14题中,首先利用正弦定理 \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \) 求出角度 \( B \),然后根据锐角三角形条件和面积公式确定面积范围。
这些知识点在高中数学的解三角形部分是基础且重要的,通过练习题来巩固和熟练运用这些知识,有助于提高解题能力和备考效果。