### 非线性控制系统的反馈线性化
#### 一、局部线性化—谐波线性化—全局线性化
##### 1.1 局部线性化（Liapunov线性化，Jacobian线性化）
考虑一个自治系统，假设该系统中的函数\( f \)是连续可微的，可以将其动态特性写为：
\[
\dot{x} = f(x)
\]
其中\( x \)是状态向量。在平衡点\( x_0 \)处，系统的动态特性可以通过Jacobian矩阵\( A \)进行局部线性化，其中\( A \)定义为：
\[
A = \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{x=x_0}
\]
这样，我们可以得到线性化后的系统：
\[
\dot{x} = Ax
\]
这个线性化系统被称为原非线性系统在平衡点\( x_0 \)处的线性近似。
当考虑到控制输入\( u \)的情况下，非线性系统的动态方程可以表示为：
\[
\dot{x} = f(x, u)
\]
在平衡点\( (x_0, u_0) \)处，可以得到：
\[
\dot{x} = A(x-x_0) + B(u-u_0)
\]
其中\( A \)和\( B \)分别为：
\[
A = \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(x_0, u_0)}
\]
\[
B = \left. \frac{\partial f}{\partial u} \right|_{(x_0, u_0)}
\]
因此，原非线性控制系统在平衡点\( (x_0, u_0) \)处的线性近似为：
\[
\dot{x} = Ax + Bu
\]
##### 1.2 谐波平衡（描述函数）线性化方法
对于非线性系统，可以采用谐波平衡法来进行线性化。例如，考虑经典的范德波尔（VanderPol）方程：
\[
\ddot{x} - \alpha (1 - x^2)\dot{x} + x = 0
\]
可以将非线性部分近似为线性元件，具体来说，假设系统存在一个稳定的极限环，其振荡信号\( x \)可以表示为正弦波的形式：
\[
x(t) = A \sin(\omega t)
\]
非线性环节的输出可以表示为：
\[
\dot{x}(t) = A \omega \cos(\omega t)
\]
进一步地，可以定义描述函数\( N(A) \)，它代表非线性元件输出的基波分量与输入正弦波的复数比。描述函数法是一种近似的方法，它允许我们利用线性系统理论对非线性系统进行分析和设计。
##### 1.3 反馈（全局）线性化
反馈线性化的基本思想是通过代数变换将非线性系统的动态特性转化为线性形式。这种方法不同于局部线性化，它是通过严格的状态变换和反馈实现的，而不是依赖于动态特性的线性近似。
例如，在水箱液位控制问题中，系统的动态方程为：
\[
\dot{h} = \frac{1}{A} (u - gh^2)
\]
通过适当的控制输入选择，可以使系统表现出线性动态特性。例如，选择控制输入\( u \)为：
\[
u = \alpha(h - h_d) + gh^2
\]
其中\( h_d \)是期望的液位高度，\( \alpha \)是严格正实常数。这样，闭环系统的动态方程变为：
\[
\dot{h} = -\alpha(h - h_d)
\]
这是一个线性系统，可以利用线性控制理论进行分析和设计。
#### 二、反馈线性化的直观概念
反馈线性化的核心在于通过非线性变换和反馈机制消除非线性影响，从而使系统表现出线性动态特性。以水箱液位控制为例，通过选择合适的控制输入，可以使得非线性系统表现出线性动态特性，进而利用成熟的线性控制方法对其进行控制。
非线性控制系统的反馈线性化方法提供了将复杂非线性系统转化为易于处理的线性系统的途径，这对于模型预测控制等高级控制策略的应用至关重要。通过局部线性化、谐波线性化以及反馈线性化等技术手段，可以有效地简化非线性控制问题，并利用线性系统理论来解决这些问题。这些方法不仅为理解和分析非线性系统提供了强有力的工具，而且也为实际工程应用中的控制器设计提供了坚实的理论基础。
- 1
- 2
前往页