非线性控制理论及应用

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第面章非线性系统微分几何理论… 4b吾号4·日b吾B4·吾4吾4···郾备 (2 6.1引言…………… ■■■■■4■■备■d■■ 量■■■■■晶昌■■■凸b晶晶d■ 4(208) §6.2徽分几河基本知识……,……,…,…,,………"………………………,(210) §6,3非线性控制系统的部性质 (221) 6.4反馈控制系统的基木理论……………………………………………………(228) 86.5反馈控制系统的兄何特性 4■加鲁司斷罪即冒自■■俱节4t■■甲顰谭會血■音自■即自ψ冒冒■罪即會自詈■■■會自T曾■■■ (246) §6.5反馈控制几何理论的应用 ■會1■P會【會1 上鲁甲曾 (265 86.7非线性托制系统的全局正则型结构及其应用 (287) §6.8小结 (304) 习趣…… 备鼻甲吾吾吾 参考文营… ■看■b ■■■■晶画普自■■■■■ …41",",,,""H…………*,(305) 第7章非线性系统微分代数方法……""………………………(306) §7.1引言 p昏耳↓兽自;费φ冒鲁警中要vp自自·甲中曾平P自导甲·新P卓中T要■ 甲甲即申自口■自如■口■■即●●·◆自 (306) §72微分代数的基本知识……………………………………(308 §7.3菲线性系统的徵分代数描述 ……………………………(3!7 §7,4状态空间方程的微分代数描述 ………"(322) 87.5非线性LO系统的可逆性 (26) §76小结…………………………………………“……………(339) 考文献………………………………………“…"……………(39) 附录A等价关系 ↓晶■■「哥昌 ………………(3c) 附录B环 (41) 附录C域的扩张…………… (344 附录D模及向量空间…………… s47) 第1章引论 §1.1非线性控制系统概述 许多控制系统都具有丰线性特性。例如随动系统的齿轮传动具有齿默和干蘑擦等,许多执 行机构都不可能无限制地增其输出功率,因此就右在饱和非性特性。以上所举的例子中的 非线性是由于系统的不完善丽产生的,这种不完善实际上是不可避免的。有些非线性是系统动 态将性本身所有的。例奶高速运动的机椃手名关节之有哥氏力的耦合,这种耦合是非缋性 的,如果要研究机械手高速运动的痉制就必须考虑非线性耦合市力系统中传输功率与各发电 杋之间相角差的正弦成正比、如果要研究电力系统中的大范劇运动时,就必狐考虑非线性特性 的影响。返有一类对象本身虽然是线性的但为了对它进行质量的控制,常常在控制系统中 有意识地引进非线性的控制规紳。例如时间最短控制就要采用m8-bug控制,它是非线性 的。严格说来,非线性是普遍存在的非线性系统才是最一般的系统,线性系统只是其中的特殊 例子。非线性特性千差万别,不可能有统一的普遍用的处理办法。而线性系统则大为简单, 可以用线性常黴分方程来描述,解线性常微分方程已有成熟的方法,因此浅性控制系统理论取 得了很大的成就。对比之下非线性微分方袒只有在个别情况下才有解析解。这给非线性控能 系统的研究带来极大的困难 非线性系统和线性系统之间的本质差别可概括为以下两点 1.对于线性系统重叠原理可以应用,对于非线性系统因为特性不是浅性的,因此重叠厦理 不能应用。对于重叠原痤可以应用的系统,分析大为简单,小倍号和大信号作用下的结果应该 纹,对于重叠原理不能应用的系轨,分析大为复杂,大信号和小信号作用的结果可以大不框 同 2.一般来说对于非线性系统不能求得完整的解( Closed form solution),l前的数学工具还 远远不够。因此一般只能对菲线性系统的运动情况作些估计,例如对系统的稳定性、动态品 质等作一些估计 我们知道线性控制系统中的运动只可能有几种情况:如衰减的或发散的振荡或不振荡运 动,或临界的振荡等等。非线性系统中的运动要复杂得多,可以是振荡的或不提荡的过程,这种 振荡严格说来不一定能用调和函数来表示可以是稳定的或不稳定的,这种稳定可以是全局 的,也可能是局部的;可以出现振荡酎极限环,这种极限环可能有多个;还可能出现混池 Chaos)现急,既非稳定的极限环,又非无限制为发散。总之,非线性系统中的现象要复杂得多 由于许多控制系统中都有非线性,有些非线性对系统的运行是有害的,应设法克服它的有 售影响。有些北线性是有益的,应在设计时予以考虑。因此从事控制工作的工程师和研究人员 早就对非线性控制系统的研究予以很大的关注。多年来在这方面已经积累了许多成果。但H 于非线性系统的复杂性,在这方面的研究工作有相当大的困难,因此研究成果还远不能满足实 际需要,住这方商有待研究的问题还很多。近年夹由于实际需要以及人们对提高控制系 统智能化程度的重视,研究工作者对非线性系统理论给予很大时关注,看望能够取得新的重要 进展 前面提到非线性是普遍存在的线性系统只是一个特例但这决不能贬低线性系统理论的 重要性。线牲系统理论仍然是系统理论的基础。许多非线性系统的极限或临界情况是线性系 统,许多非线性系统是由线性系统组合、引伸或改造而来。因此研究非线性系统理应首先要对 线性系统哩论有较深入的了解。事实上许多非线性系统的分析方法要借助于线性系统理论的 成果 §1.2非线性控制系统的数学方程 对于非线性系统人们常常采用徵分方程或非线性算子方程来播述,本节介绍非线性控制 系統的微分方程描述方法 相当广泛献一类非线性系统可用n阶常微分方程来捕述 davit 五|,y(t),y(t) d t(t),=0 其中(t)为输入:y()为输出。若定义 dw-ly(2) 则单一的(1.2,1)式可改写为n个灬阶方程的方程组; x1(t)=x2(t 1,22 )=hLt,1(t),x2(t ),(t)] 如果定义向量x(·):R+→*R,f:R+XR×R→>R如下 x(t)=[x1(t),,x() f(,x,n)=[x2,x;,…,a:h(,x,";xn,) 则(1.2.2)方程组可写成向量微分方程的形式 x(t)=fit,x(),u(),t 220 (1,2,3) 式中x为状态向量,x1至xn为其状态变量在上面的推导中设t(t)为单变量,若系统中有多个 人,则式(1.2.3)的形式仍然可用,此时a()为向量 今后我们就用式(1.2.3)来描述般非线性控制系统 对于一个用式(1.2.3)描述的非线性挖制系统,我们希望对于每一个输人(t)以下情况得 以成立 1)式(1.2.3)至少存在一个解(解的存在性), (2)式(1.2.3只存在灬个解解的唯一性), (3)对于时间半轴[0、c}上式(2,3)只存在一个解 4)在[0,∞)轴上式(12.3)只存在一个解,而丘这个解与初值x(0)存在连续变化的 关系。 以上是我们的期望,这些要求是相当强的,只有对f函数提出相当严格的要求才能实现。 我们可以举出以下一些不符合上述要求的例子 例1x(t) t≥0,x(0)=0,此方程有以下两个解x1(t)=12,x2t) 这就是说上列条件(1)成立,但条件(2)不成立。 例2x(t)=1+x2(t),t≥0,x(0)=0,此方程在[0,1)区间有唯…解 (a)=tgt 但在[0,x)区间不存在连续可微的解x()。这就是说上列条件(1),(2)是满足的,但条件(3) 不满足。 上面的例子和陈述说明式(1,2,3)解的存在性及唯一性是十分重要的。这一问题将在下节 中讨论。 在上闻的例子屮系统可以有解折形式的解,这只是非常特殊的情况。一般情况下方程式的 解即使存在也是表达不出来的,只能对它进行近似的估讨或数值汁算。 式(1.23)代表最一般化的非线性控制系统的方程。如果f函数与无关,则称此系统为 自治(驻定的,否则称为非自治(非驻定)的。 如果x(t)=(则 x,x(t)],t≥0,x(0) 代表系统的自由运动。 在许多控制系统中输入量u(t可以从函数f中分列出来,此时系统方程可写成以下形式: x= A(t,x)+B(t ku(t) 称这样的系统是仿射的。它代表相当广泛的一类非线性系统,这类系统自其熹身的特点。 对于系流(1.2.4),若x∈R",并且 翼)=Q,↓ft 则称x是系统(1.2.4)的平衡点。如果x是t-to时的平衡点则x也是一t≥时的平衡 点。对于自冶系统当然就不必指出平衡点和时间的关系。对于非自泠系统这就很重耍了如 架x∈R"是系统(1.24)在t=t时的平衡点,则在t1≥t时 )=f[t,(t)],t≥t扌X〔t1) 将以x()=x,t1为其唯一誣。 对于线性系统平衡点总是唯-的,对于非线性系统情况则不同。于是我们给出以下定义 如果在时刻x是系铳(1.2.4)的平衡点,且在X的邻域没有其他t=时刻的平衡点, 则称x是孤立的平衡点。 S1.3关于非线性常微分方程的解 的存在性及唯·性 节中提出对于非线性制我们要求系统方程是有解献解是唯一的这一问题很里要 本节将不加证明地介绍这方面的一些基本知识对于这些结果的讨论已超出木书的范田,因此 不引人证明。有兴趣的读者可以参考有关教材,例如文献[231。 我们讨论方程(1.2.4)的解的存在及唯一的条件。分两种情况 1.局部解情况 定理1.3.1如果式(1.24)中的f对t和X是连续的若在常教T,,h,,使得 (1)‖f(,x)一f(t川‖≤kxyx,y∈B,[0,T], 其中B={x∈R";‖x-x‖≤r代表R中的一个球 (2)‖f(,xa)‖≤五,¥∈[D,T], 1.3.2) 在满足以下条件的δ的区簡[0,中式(124)有一个唯一解。δ应满足的条件是 hexp(是)≤r 1.3.3) 6≤m(kh+h,P<1 1.3,4) 定理中所外式(13,1)称为 Lipschitz条件称为 Lipschitz常数。式(1.3.1)表明点在局部 区间满足 Lipschitz条件,因此所讨论的解也是局部的 由定理1,31可得以下推论 推论13.2如果在(0,x)的邻域【对x的偏导存在并连续,对t的单边的偏导存在并连 续,则式(1.2.4)在相当小的区间0,内存在唯一解。 全局解情况 定理13.3如果在rE[0,∞)区间中均存在有界常数kx和Hr,使得 (1)‖f(t,x)-f(ty)≤k‖x-y,xy∈R”,t∈[0,7 (1.3.5) (2)f(tx)l≤h;t∈[0,T (13.6) 则式(1.2.4在L0,T,T∈[0,∞)区间内存在唯一解 这里式(13.5)称为全局 Lipschitz条件粗略地说,茹果系统在全局范围内满足 Lipschitz 条件,则在全局范围内,在区间[0,∞)内系统有唯一解 定理1.3,4如果函数【满足定理1.3.3中所规定的条件,设x(·)和y(·)均满足式 1.2.4),即 X(t)=r,x()],x(0)=孤 y(t=t,y()],y)=y 则对每一e>0,存在相应的δ(,T)>0,貝要 ‖翼。-ya‖|<(ET),T∈0,∞) 则有 ‖x()-y(}‖<e §1.4二阶系统自亩运动的分析 前面概要地介绍了非线性系统,作为开始在这一节中我们概要地、定性地讨论二阶系统的 自由运动的情况,目的是以二阶系统为例使该者对非线性系统中的自由运动有一个初步的印 象 阶系统有其典型性,这是因为许多二阶系统都有其明确的物理背景;二阶系统的自由远 动可以在一平面上表现出来,何形象鲜明:以二阶线性系统为例,它的特征根可能是稳定的 或不稳定的实根或复根它的特征根的分布代表了可能的典型的方案,因此它的自由运动也有 典型意义。由此订见先研究般二阶系统的自由运动建立起一些形象的概念是有益射。 阶系统的自由运动可表为 文2(t)=f2[t,x(t),x2( 以x1和x2为坐标组成的平面称为状态平面,在该平面⊥画出的式(1.4.1)的图形称为状态平 面轨迹。在特殊情况下当取x1()=x2(t)+此时绘出的图形称为相轨迹,它所在的平面称之为 相平面。 为简单计我们只讨论驻定系统的情况,此时系统的一般方程为 fi x2()=f2[x1(t),x2(t)] (1.4.2) 根据上式对应状态平上的饪一向量[x1,x2有一个向量Lf1(x1,x2),f2(x1,x2)]2,这一向 量的方向定义为 6r(x) fi Ig (1,4.3) 根据式(1.4.2)6(x)所表示的方向是系统(1.4,2)在x点的自由送动的方向,它表示系统轨 迹在x点的切线方向。由此自然可以理解向量f1(x1,x2),f2(x1,x=F(x)表示一个速度向 量场。以上所述的既念显然可以推广到更高阶的系统。由此可见,研究系统的自由邁动,实际 上是研究其速度场的分布这种几何概念对于研究非线性系统的运动是很有用的,因而近年来 得到了很大的发展。因过于专门,限于篇幅,本书中不能详细讨论。 我们先讨论二阶线性系统的情况,设系统方程为 xz),x〔0) l.4.4) 为突出系统特征根对系统相轨迹的影响,我们采用线性变换,将A阵化为标准型。为此取 z(t)=f(t) 于是式(1.4.4)化为 z(t)=TATE(比},E0)=x (1,4.6) T-1AT可能的形式不外乎以下兀种 1.对角型 其中λ1和廴2均为实数可能正或负,不一定不相等 2,若当型 T”-AT= 入为重复的实根。 共轭型 rAI 系统的特征根为《+和a-j。 对于以上三种情况我们分别作运动轨迹图。 图14.1给出<人<0时z平面上的轨迹图。图形表明平衡点(原点)是稳定的,此点称 为稳定的结点。如果>A>0,则图1.41所示轨线的箭头方向应改变,此时原点为不稳定结 图1.4.2给出λ<0<λ时z平面上的轨迹。此时系统不稳,原点称为鞍点。如果λ>0 λ;则图1.4.2的箭头要反向,此时鞍点仍然是不稳定的 图 1,4,1 图1.4.2 以上图1,4,1和1,4,2给出的是z平面上的轨迹图。由于z坐标和x坐标之间存在线性 变换关系坐标之间旋转了一个角度,因此在x坐栋平西上轨迹也要旋转一个角度,图1、4,1 和1.4.2所示的轨迹在x平面上的轨連如图1.4,3和1.4,4所示 图1.4. 图1..4 对于若当型其在z和x平菌上的轨迹图形示于图1.4.5和1.4.6图中所示是为负的情 况,系统稳定,因此结点是穩定的,如果心>0,则轨迹线上的箭头应反向 对亍共轭根的情况轨迹图形示于图1.4.7和1.4.8。图1.4.7足不稳定的情况,此时原点 图1.4.5 图1.4.5 称为不稳定的焦点。图1.48是稳定的情况,此时原点称为稳定的焦点 总结以上情况可以看出线性系统的平衡点可能是稳定或不稳定的结点,定或不稳定的 焦点,鞍点。对于非线性系统情况要复杂得多,但若系統中的非线性不强,则在状态平面上的轨 迹仍有可能和线性系统的執迹有若干相近之处。一般来说非£性系统的轨迹图形可能很复杂 除以上所列举的结点、鞍点、焦点等以外,还可能出现极限环,不确定的振荡等等。 图14.7 图1.÷.8 对于二阶非线性系统在状态平面上绘制其轨迹图形也是很有意义的,它形象地描绘出系 统自由运动的情况,可得到灬些定性甚至近似定量的结果。这里我们介绍用等倾法绘制非线性 闫由运动轨迹的方法,对于系统(1,42)取 S(U13x2) f1 C Const 对于某选定的C在x1-2平面上可得S(xx2)曲线,在这曲线上系统轨迹的倾角相同,这 样的等偭线可以充满X平面。若耍研究从某一点出发的轨迹,可从跤点出发作一小段的勒迹; 此小段的倾角和所在点的等倾线所规定的倾角相同。这样一小段一小段地作下去就可得到全 轨迹。作为例子图1.4.9绺出 an der pol方程的轨迹图形。 Van der pol方程为

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Jin橡皮 名字跟书名不符,坑人
2019-04-09
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furtherlove307 经典教材,谢谢分享
2017-06-29
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nwttjpu 非常好的书 好多老师和同学都推荐看的 不错
2015-04-07
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haomiaoxingkong888 经典的教材,很受用。
2015-01-31
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dandelionlei 经典教材,好好学习中
2014-10-23
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aaa24927 经典,谢谢共享
2014-06-02
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mhf20101225 经典教材,但努力可以学懂,比较有用
2012-10-09
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