**图形变换**
图形变换在计算机图形学中扮演着至关重要的角色，它允许我们将几何对象从一个坐标系统转换到另一个坐标系统，或者通过一系列操作（如旋转、缩放、平移等）来改变其形状和位置。图形变换可以分为几何变换、投影变换和视窗变换。其中，几何变换是最基础的，它保持了图形的属性和拓扑关系不变。
**几何变换**
几何变换主要涉及图形在坐标系中的移动和变形。有两种基本形式：一是图形不变，坐标系改变；二是图形改变，坐标系不变。这两种变换都可以通过线性变换来实现，确保图形的基本属性（如面积、角度）保持不变，同时保持拓扑关系，即图形间的连接关系不被破坏。
**二维图形变换**
1. **平移变换**：平移变换是最简单的变换类型，将每个点沿着指定的方向和距离移动。平移变换可以通过添加一个常数向量来实现，例如点P(x, y)平移到P'(x', y')，其中x' = x + m, y' = y + n。
2. **旋转变换**：旋转变换是围绕坐标系原点进行的，通过角速度α进行。点P(x, y)绕原点逆时针旋转α度后变为P'(x', y')，其坐标关系可以用三角函数表示。
3. **比例变换**：比例变换可以放大或缩小图形。如果Sx和Sy分别是x轴和y轴的缩放因子，点P(x, y)变换后的坐标为P'(x', y')，其中x' = x * Sx, y' = y * Sy。当Sx和Sy相等时，称为均匀缩放。
4. **对称变换**：对称变换包括关于x轴、y轴和原点的对称。关于x轴的对称变换将y值变为其相反数，关于y轴的对称变换将x值变为其相反数，而关于原点的对称变换则是x和y值都变为其相反数。
5. **错切变换**（SHEAR）：错切变换沿特定方向改变图形的形状，如沿x轴错切是x' = x + y * tag(θ)，沿y轴错切是y' = y + x * tag(θ)。
**齐次坐标**
齐次坐标是一种扩展的坐标表示方式，它将n维空间中的点表示为(n+1)维的矢量。在二维情况下，点P(x, y)的齐次坐标是 (x, y, 1)。齐次坐标允许使用相同阶数的矩阵表示各种类型的变换，使得图形变换的矩阵运算变得统一和简便。此外，齐次坐标还可以方便地表示无穷远点，并且在合成多个变换时尤为有用。
**变换矩阵**
变换矩阵是图形变换的核心工具，通过乘以齐次坐标可以实现平移、旋转、缩放和对称等变换。例如，恒等变换、比例变换、对称变换等都有对应的矩阵表示。这种矩阵表示法使得多个变换的组合变得更加直观和简洁。
总结来说，图形变换和齐次坐标是计算机图形学中的基础概念，它们不仅用于在不同坐标系统间转换图形，还用于创建复杂的图形效果和动态显示。通过掌握这些基本原理，我们可以更好地理解和应用计算机图形学中的各种算法和技术。
