单循环赛制安排的数学模型.doc
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2023-02-20
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单循环赛制安排的数学模型
[摘要]: 本文首先通过对５支足球队单场地单循环赛程安排的问题，考虑对各队公平的相隔场次的情况下
用排除假设法给出至少相隔一场的赛程安排的方法，遵循小数先走的原则时恰好发现了击剑比赛时 n＝５
的赛程安排规律，并讨论其不合理性．分奇、偶参赛队的情况给出只考虑相隔场次时的最大均等时相隔场
次次数的最小上限证明．在编制 n=８，n=９支球队赛程的过程中进一步研究多种循环赛制安排的方法，还
给出 Matlab 编制的一般性的赛程安排程序．同时通过引入对实力的排序、比赛的精彩度、各球队机会最大
均等、奇数队参赛必然遇到不公平的情况等展开讨论一些赛程安排方法的不足之处．
关键词: 最大均等; 轮转法; 实力指数; 精彩度
１ 问题的提出
你所在的年级有 5 个班，每班一支球队在同一块场地上进行单循环赛，共
要进行 10 场比赛，如何安排赛程使对各队来说都尽量公平？下面是一个随便安
排的赛程：记 5 支球队为 A， B， C， D， E，在下表左半部分的右上三角的
10 个空格中， 随手填上 1，2，�10， 就得到一个赛程， 即第 1 场 A 对 B， 第
2 场 B 对 C， �， 第 10 场 C 对 E． 为方便起见将这些数字沿对角线对称地填
入左下三角． 这个赛程的公平性如何呢， 不妨只看看各队每两场比赛中间得到
的休整时间是否均等． 表的右半部分是各队每两场比赛间相隔的场次数， 显然
这个赛程对 A， E 有利， 对 D 则不公平．
A
B
C
D
E
每两场比赛间相隔场次数
A
X
1
9
3
6
1， 2， 2
B
1
X
2
5
8
0， 2， 2
C
9
2
X
7
10
4， 1， 0
D
3
5
7
X
4
0， 0， 1
E
6
8
10
4
X
1， 1， 1
从上面的例子出发讨论以下问题
1) 对于 5 支球队的比赛，给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程．
2) 当 n 支球队比赛时，各队每两场比赛间相隔的场次数的上限是多少．
3) 在达到 2）的上限的条件下，给出 n=8、n=9 的赛程，并说明它们的编制过程．
4) 除了每场间相隔场次数这一指标外，你还能给出哪些指标来衡量一个赛程的优劣，
并说明 3）中给出的赛程达到这些指标的程度．
2 基本假设
1）单循环赛中，n 为偶数队参赛时，所有队都安排参加一次后为一轮比赛，轮数为
n-1，奇数队参赛时，n-1 队安排参赛一次后为一轮比赛，轮数为 n ．
2）参赛队 A、B、C、D……通过以往比赛成绩的排名或社会评价的排名按
实力从大到小顺序记为 1、2、3、……n 队．
3 模型的分析、建立与求解
1）第一轮第一场比赛安排 A 对 B，第二场比赛安排 C 对 D，在各参赛队每两场比赛间
至少相隔一场的前提下，第二轮第一场安排除 C、D 外的任意两支球队比赛，第二场安排前
一场没有参赛的任意两队参赛，曾经比赛交战过的队不再安排对决，以此类推，共安排 5 轮
共 10 场比赛，以下只给出安排过程的部分分支：
BD
CE
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