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本文基于传统的传染病模型,以微分方程的方法作为理论基础,结合采取的措施不同的情况,用MATLAB软件拟合出患者人数与时间的曲线关系,从中得出应采取的相应的应对措施。 在考虑地区总人数不变,人群被分为五类:确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人,再将这几类分为可传染性和不可传染性两种。我们找出单位时间内正常人数的变化、单位时间内潜伏期病人数的变化、单位时间内确诊患者人数的变化、单位时间内退出的人数的变化、单位时间内疑似患者人数的变化等关系建立微分方程模型,得到病毒扩散与传播的控制模型。 在此基础上,我们将所要求的问题带入模型得到患者人数随时间变化的曲线图,根据这图形得出模型结果的变化。这样一来就可根据这结果的变化得出相应的应对措施。 此外对该传染病的潜伏期及治愈期进行了灵敏度分析,发现潜伏期的变化会对整个模型的结果产生较大影响,而治愈期的变化只会使传染病的持续时间缩短,但对累积的患病人数影响不大。 应尽量避免患者与正常人接触,减少正常人患病的可能性;加大隔离措施强度;减少拖延患者去住院的时间,让患者及时住院治疗。养成良好的卫生习惯,保证科学睡眠,适当锻炼,减少压力,保证营养,增强个人抵抗力,降低被病毒感染的危险。
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病毒扩散与传播的控制模型
摘要
本文基于传统的传染病模型,以微分方程的方法作为理论基础,结合采取的措施
不同的情况,用 MATLAB 软件拟合出患者人数与时间的曲线关系,从中得出应采取的
相应的应对措施。
在考虑地区总人数不变,人群被分为五类:确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡
和正常人,再将这几类分为可传染性和不可传染性两种。我们找出单位时间内正常人
数的变化、单位时间内潜伏期病人数的变化、单位时间内确诊患者人数的变化、单位
时间内退出的人数的变化、单位时间内疑似患者人数的变化等关系建立微分方程模型,
得到病毒扩散与传播的控制模型。
在此基础上,我们将所要求的问题带入模型得到患者人数随时间变化的曲线图,
根据这图形得出模型结果的变化。这样一来就可根据这结果的变化得出相应的应对措
施。
此外对该传染病的潜伏期及治愈期进行了灵敏度分析,发现潜伏期的变化会对整
个模型的结果产生较大影响,而治愈期的变化只会使传染病的持续时间缩短,但对累
积的患病人数影响不大。
应尽量避免患者与正常人接触,减少正常人患病的可能性;加大隔离措施强度;
减少拖延患者去住院的时间,让患者及时住院治疗。养成良好的卫生习惯,保证科学
睡眠,适当锻炼,减少压力,保证营养,增强个人抵抗力,降低被病毒感染的危险。
关键词:病毒扩散与传播 微分方程模型 曲线拟合
1
一、问题重述
已知某种不完全确知的具有传染性病毒的潜伏期为 天,病患者的治愈时间
为 天。该病毒可通过直接接触、口腔飞沫进行传播、扩散,该人群的人均每天接触
人数为 。为了控制病毒的扩散与传播将该人群分为五类:确诊患者、疑似患者、治愈
者、死亡和正常人,可控制参数是隔离措施强度 (潜伏期内的患者被隔离的百分
数)。
要求:
1、在合理的假设下试建立该病毒扩散与传播的控制模型;
2、利用你所建立的模型针对如下数据进行模拟
条件 1: ;
条件 2:已经知道的初始发病人数为 890、疑似患者为 2000;
条件 3:隔离措施强度 ;
条件 4:患者 2 天后入院治疗,疑似患者 2 天后被隔离,试给出患者人数随时间变化的
曲线图,并明确标识图中的一些特殊点的具体数据,分析结果的合理性。
3、若将 2 中的条件 4 改为条件:患者 1.5 天后入院治疗,疑似患者 1.5 天后被隔
离,模拟结果有何变化?
4、若仅将 2 中的条件 3 改为条件:隔离措施强度 ,模拟结果有何变化?
5、若仅将 2 中的条件 1 改为条件: ,模拟结果有何
变化?
6、分析问题中的参数对计算结果的敏感性。
7、针对如上数据给政府部门写一个不超过 400 字的建议报告。
二、问题分析
在考虑地区总人数不变,人群被分为五类:确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡
和正常人,我们可知,治愈者、死亡和正常人不可能传染病毒,我们把问题转化为如
何找出正确的关系表达式来表达出每天病人增加的总数的问题,找出单位时间内正常
人数的变化、单位时间内潜伏期病人数的变化、单位时间内确诊患者人数的变化、单
位时间内退出的人数的变化、单位时间内疑似患者人数的变化等关系建立微分方程模
型,得到病毒扩散与传播的控制模型。
在问题一的已求出得到病毒扩散与传播的控制模型的基础上,我们将后几问所要
求的问题带入模型就可得到患者人数随时间变化的曲线图,我们可以根据这些图得出
模型结果的变化。这样一来就可根据这些模型结果的变化得出相应的应对措施。
2
三、模型假设
1、将病毒所有传播途径都视为与病原的接触;
2、在疾病传播期间内所考察地区的总人数 N 视为常数,即认为本地区流入的人数与流
出的人数相等,时间以天为计时单位;
3、该病毒处于潜伏期的病毒不具有传染性;
4、治愈者二度感染的概率为 0,他们以退出传染体系,因此将他们归为“退出者”;
5、不考虑这段时间内人口出生率和自然死亡率,而对于由病毒引起的死亡人数,也将
其归为“退出者”;
6、被隔离的人群完全断绝与外界的接触,不再具有传染性;
7、不考虑被隔离而实际又未被感染者,因为这部分人没有自由活动,对疾病的传播
(感染和被感染)基本不造成任何影响;
8、将人群分为以下四类:
正常人:易感染者
确诊患者:传染者
退出者:“治愈者”和“死亡者”统称;
疑似患者:被隔离但还没有确诊或者排除的人员;
四、符号约定
:确诊病人;
:潜伏期病人(感染了但处于潜伏期没有传染性的人);
:类似病人(症状类似感染但其实没有感染的人);
:退出者(痊愈和死亡的确诊病人);
:普通易感者;
:病人的传染系数;
:潜伏期病人的传染系数(假设潜伏期病人也有传染性,但 小于 );
:传染性病毒的潜伏期;
:病患者的治愈时间;
:该人群的人均每天接触人数;
:可控制参数是隔离措施强度(潜伏期内的患者被隔离的百分数);
五、模型的建立与求解
5.1 模型一
5.1.1 模型准备
根据人口守恒原理,可建立如下模型:
模型将疫区的总人口数看成不变(不考虑流动人口) ,将疫区所有的人(假设人口的
自然出生率和死亡率在疫期相等)分为:
3
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yuchaobo
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