在数学分析中，函数的最大值和最小值是极为重要的概念，它们可以帮助我们理解和解决各种实际问题，如优化问题、经济学中的利润最大化等。本篇教案主要讲解如何寻找和理解函数的极值以及最值。
复习部分提到了判断函数在某一点是否取极值的方法。如果函数f(x)在x0处连续，并且在x0的左侧导数小于0，右侧导数大于0，那么f(x0)是极大值；反之，如果在x0的左侧导数大于0，右侧导数小于0，则f(x0)是极小值。导数为零的点是极值点的必要条件，但不是充分条件，因为函数的拐点也可能是极值点，即使导数在那里不为零。
新课部分介绍了如何寻找函数在闭区间[a, b]上的最大值和最小值。当函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，我们可以按照以下步骤来求解：
1. 求函数在开区间(a, b)内的极值，即极大值和极小值。
2. 比较这些极值与f(a)和f(b)的值，其中最大的是最大值，最小的是最小值。
在探讨最值时，应注意以下几点：
1. 极值是局部概念，而最值是全局概念。函数在定义域上的最值只可能有一个最大值和一个最小值，但极值可能有多个或没有。
2. 闭区间上的连续函数必然存在最值，而开区间内的可导函数则不一定有最值。
3. 如果函数在区间内只有一个极值点，且根据实际意义可以确定其性质（最大或最小），则无需再与端点比较。
4. 如果函数在某些点不可导，还需考虑这些点处的函数值来确定最值。
举例说明，例如函数y = x^4 - 2x^2 + 5在[-2, 2]区间上的最大值和最小值。通过求导，我们找到极值点x = -1, 0, 1，并分析导数的正负变化，发现最大值是13，最小值是4。
另一个例子是函数f(x) = (x^2 + 5)(2x - 1)在[-1, 3]区间上的最值。同样通过求导找到极值点并分析函数值，可以确定最大值和最小值。
寻找函数的最值是通过结合导数的信息和函数本身的性质，对函数在整个定义域上的行为进行综合分析的过程。在实际问题中，掌握这个方法能帮助我们解决许多实际优化问题。
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