2021版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理练习理北师大版

【正弦定理和余弦定理】 正弦定理和余弦定理是高中数学中三角函数解三角形的重要工具，尤其在处理三角形边角关系时具有重要作用。正弦定理阐述了三角形中边与对应角的正弦值之间的关系，公式如下： 对于任意三角形ABC，其三边长分别为a、b、c，对应的角分别为A、B、C，正弦定理表达为： \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] 这意味着三角形中任何一边与其对应角的正弦值的比例是常数，这个常数等于该三角形外接圆的半径。 余弦定理则给出了三角形边长与夹角的余弦值的关系，公式如下： \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \] \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \] \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B \] 其中，c是边a和b之间的夹角C的对边，a和b分别是角B和C的对边，以此类推。余弦定理可以用来求解三角形的边长或角度，尤其是当已知两边和一个非夹角的情况。 在高考数学的复习中，这两条定理是重点考察内容。例如题目中的练习题，通过正弦定理和余弦定理求解三角形的角或边，例如第1题中，利用A-B=π/2得到A=B+π/2，再结合正弦定理求出角B的大小；第2题中，利用面积公式和余弦定理来求解tan C的值；第3题中，由正弦定理推出角A为直角，从而确定三角形的形状；第4题中，根据等差数列性质求出角B，再用余弦定理求解边c，进而计算面积；第5题中，先用面积公式和正弦定理求解边b和c，再用余弦定理求边a，最后求周长；第6题和第7题同样通过正弦定理和余弦定理的综合运用，求解未知角度A和三角形的面积。 在实际应用中，掌握正弦定理和余弦定理，不仅能解决几何问题，还有助于理解物理学中的振动和波动问题，工程学中的信号处理等。因此，对这两个定理的深入理解和熟练运用是学习高中数学不可或缺的部分。