浙江专用2021版新高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形8第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例高效演练分层突破

【正弦定理和余弦定理】是高中数学中三角函数部分的重要内容，它们是解决几何问题，尤其是涉及三角形边角关系问题的关键工具。正弦定理表述为在一个任意三角形ABC中，各边与其对应角的正弦值的比例相等，即： \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] 而余弦定理则描述了三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与夹角余弦的两倍乘积，对于边长为a、b、c的三角形，其一个角为C，余弦定理表达为： \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \] 这两个定理在实际应用中非常广泛，例如在航海、航空、地理测绘等领域。题目中的例子就是通过正弦定理和余弦定理来解决实际问题的。 1. 在第一道题中，利用角度关系确定了两个方向，然后通过计算得出灯塔A相对于灯塔B的方向。 2. 第二题通过两个不同位置测得的塔顶仰角，结合余弦定理计算塔的高度。 3. 第三题中，船的航行路径可以用正弦定理求解，找出两个时间点的位置关系，从而计算速度。 4. 第四题利用余弦定理求解两个建筑物顶部的张角。 5. 第五题结合风向和速度，通过余弦定理判断码头处于危险区的时间。 6. 第六题通过等腰三角形面积最大值的问题，利用中线性质和余弦定理求解腰长。 7. 第七题利用四边形ABCD各边长和互补角，通过余弦定理求解AC的长度。 8. 最后两题同样应用余弦定理，结合方位角度和距离，计算货船的行驶速度。 这些题目展示了正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的灵活性和实用性，是高考数学复习中的重点内容。通过这样的高效演练和分层突破，可以帮助学生巩固理论知识，并提升解题能力。