《直线的两点式方程》是高中数学课程中一个重要的知识点，主要涉及解析几何的基本概念。在2021-2022学年的选择性必修第一册中，这一章节详细介绍了如何通过两个点来确定一条直线的方程。
直线的两点式方程，也称为两点间的直线公式，是用来描述通过任意两点\(P_1(x_1, y_1)\)和\(P_2(x_2, y_2)\)的直线的标准方程。公式为：
\[
\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\]
这个方程的推导基于直线的斜率定义，即斜率等于直线上任意两点间y坐标差与x坐标差的比值。通过将上式整理，可以得到一般形式的两点式直线方程：
\[
(y - y_1)(x_2 - x_1) = (x - x_1)(y_2 - y_1)
\]
在实际应用中，我们可以通过已知的两个点坐标，直接代入上述公式求出直线方程。例如题目中给出的第2题，要求通过点\(A(-2, 4)\)和点\(B(6, 2)\)的直线方程，就可以直接计算出斜率，然后用点斜式写出方程。
对于在坐标轴上的截距，直线的方程可以写成截距式：\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)，其中\(a\)是x轴截距，\(b\)是y轴截距。题目中的第1题要求找过的点(0, -2)，且截距和为2的直线方程。根据截距式，我们可以设\(a + (-2) = 2\)，解得\(a = 4\)，进而得到方程\(-\frac{x}{4} + \frac{y}{-2} = 1\)，简化后得到\(-x + 2y = 4\)。
题目中的第3题则涉及到了直线在坐标轴上的截距关系，直线\(mx - 2y - 3m = 0\)在x轴和y轴上的截距分别是\(3m\)和\(-\frac{3m}{2}\)，根据题设它们的和为4倍的y轴截距，解得\(m = -4\)。
对于题目中的第4题，三点\(A(1, 1)\), \(B(a, 0)\), \(C(0, 2)\)共线意味着它们在同一直线上，可以通过检验\(A\)和\(C\)两点确定的直线方程是否包含点\(B\)来求解\(a\)的值。
题目中的第5题是一个实际问题，要求找到经过点\(A(-2, 2)\)且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线方程，可以通过设定直线方程的截距式，利用面积公式求解。
在解这类问题时，我们需要熟练掌握直线的几何特性，如斜率、截距、点斜式、两点式方程，以及直线与坐标轴的关系。同时，对坐标几何中的计算技巧和方程的变形能力也至关重要。通过这些习题，学生可以巩固和提高对直线方程的理解和应用能力。
