反比例函数是初中数学中的重要概念，特别是在九年级的学习阶段，学生需要深入理解和掌握其图象与性质。本节我们将详细探讨反比例函数及其图象的相关知识点。
反比例函数的一般形式为 \( y = \frac{k}{x} \)，其中 \( k \) 是常数，\( x \neq 0 \)。这里的 \( k \) 决定了函数图象的位置和形状。当 \( k > 0 \) 时，函数图象位于第一、三象限；而当 \( k < 0 \) 时，图象位于第二、四象限。例如，题目中的第2题指出，如果反比例函数 \( y = \frac{k}{x} \) 经过点（－3，－4），根据反比例函数的性质，可以判断 \( k = -3 \times -4 = 12 > 0 \)，因此该函数的图象应位于第一、三象限。
反比例函数的图象是两条穿过原点的曲线，分别位于第一、三或第二、四象限。第1题中提到了 \( y = kx - k \) 与 \( \frac{k}{x} \) 的图象，这里 \( y = kx - k \) 是一条通过原点的直线，而 \( \frac{k}{x} \) 是反比例函数。因为题目没有给出具体的 \( k \) 值，所以无法直接判断它们的图象是否相同。
再来看第3题，反比例函数 \( y = \frac{m}{x} \) 在第二、四象限，这意味着 \( m < 0 \)。因此，正确答案是C，\( m \) 的值为 -1。
第4题考察了正比例函数 \( y = kx \)（\( k > 0 \)）和反比例函数 \( y = \frac{k}{x} \)（\( k > 0 \)）在同一坐标系内的图象。正比例函数是一条穿过原点的直线，斜率为正，而反比例函数是两条曲线，所以正确的图象选择是A。
第5题中，函数 \( y = \frac{m^2 - 25}{mx + 2m} \) 被表示为反比例函数，且图象在第二、四象限。根据反比例函数的定义，可以化简这个函数，得到 \( m^2 - 25 = -m^2 \)，解得 \( m = \pm \frac{5}{2} \)，由于图象在第二、四象限，所以 \( m \) 应为负值，即 \( m = -\frac{5}{2} \)。
第6题中，反比例函数 \( y = \frac{k}{x} \) 经过点 (2, 5)，可以计算出 \( k = 2 \times 5 = 10 \)。若点 (1, n) 也在图象上，则 \( n = \frac{k}{1} = 10 \)。
第7题中，一次函数 \( y = nx + m \) 和反比例函数 \( y = \frac{x}{n} + \frac{5}{2} \) 都经过点 (1, -2)。将点的坐标代入，可以求得 \( n = -3 \) 和 \( m = -5 \)。因此，这两个函数的解析式分别是 \( y = -3x - 5 \) 和 \( y = \frac{x}{-3} + \frac{5}{2} \)。
总结以上内容，反比例函数的核心知识点包括：
1. 反比例函数的一般形式：\( y = \frac{k}{x} \)，其中 \( k \) 决定图象位置。
2. 图象特征：当 \( k > 0 \) 时，图象位于第一、三象限；当 \( k < 0 \) 时，图象位于第二、四象限。
3. 图象是穿过原点的双曲线。
4. 反比例函数图象上的点满足 \( xy = k \)。
5. 反比例函数与正比例函数图象的对比。
通过解决这些题目，学生可以更好地理解反比例函数的图象与性质，并能够熟练运用这些知识解决实际问题。
