2020_2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何课时作业16空间向量的数量积运算含解析新人教A版选修2_1

空间向量的数量积是高中数学中的重要概念，特别是在立体几何的学习中起着核心作用。数量积，也称为点积或标量积，是两个向量之间的运算，其结果是一个标量，而非向量。数量积的计算公式为：**a·b=|a||b|cosθ**，其中，`a`和`b`是两个向量，`|a|`和`|b|`分别是它们的模（长度），`θ`是这两个向量之间的夹角。 在选择题中，问题1考察了数量积与夹角关系的理解。向量`a·b<0`并不意味着`θ`一定为钝角，因为当`θ`等于180度时，两向量反向，数量积也为负，但此时的夹角是平角，而不是钝角。因此，`a·b<0`是`θ`为钝角的必要不充分条件，选项B正确。 问题2中，根据数量积定义，如果两向量`a`和`b`的模都是1，并且`a·b=-`，则它们的夹角`θ`可以通过`cosθ= -`来计算，得出`θ=120°`。两直线的夹角就是`180° - θ`，所以夹角是60°，对应选项B。 问题3中，通过向量的线性运算和数量积的性质，可以得出`OA·BC = OA·(OC - OB)`，进一步计算后可发现`OA·BC = 0`，表明`OA`与`BC`垂直，因此`cos〈OA，BC〉 = 0`，答案为D。 问题4是关于正四面体的，`AE`和`AF`分别是`BC`和`AD`的中点。根据中点性质和向量加法，可以表示`AE·AF = (AB + BE)·AD`，然后利用正四面体的性质和数量积的定义，可以计算出`AE·AF = |AB|·|AD|·cos = `，选择B。 问题5涉及平行六面体的边长和角度，利用向量的线性组合表示`AC1`，并计算其模的平方，最终得到`|AC1| = `，选择C。 填空题部分，第6题考察了正方体中向量的性质。其中，错误的结论可能是：①是正确的，因为向量的和的模等于各向量模的平方和的平方根；②也是正确的，因为这是向量乘法的分配律应用；③是错误的，因为正方体中相邻的两条棱夹角是90°；④是正确的，因为正方体的体积可以用三条相邻棱的长度的乘积表示。所以错误的结论序号是③。 第7题，利用向量垂直的条件，即两向量的数量积为0，可以建立等式，求解向量`a`和`b`的夹角`〈a，b〉`。第8题，同样需要利用向量的数量积和模的性质来计算平行六面体的对角线`AC1`的长度。 解答题部分涉及到的具体计算过程较为复杂，需要利用向量的线性运算、数量积的定义以及立体几何的知识来解决。例如，第9题要求的是正四面体的两个向量的点积以及两个和向量的点积，第10题涉及的是平行六面体的计算，第11题则考察了由向量关系推断三角形形状的能力，第12题通过建立空间坐标系解决直二面角中的线段长度，第13题和第14题则涉及到异面直线所成角的求解。 这些题目共同强调了空间向量的数量积在解决几何问题中的关键作用，如确定向量的夹角、计算长度和体积、判断几何形状等。在实际解题过程中，学生需要熟练掌握向量的基本性质和运算规则，同时具备一定的空间想象能力。