2020_2021学年高中数学第3章空间向量与立体几何能力检测含解析新人教A版选修2_120210323259

【知识点详解】 1. **空间向量的基本概念**：向量是表示方向和大小的量，在高中数学中，空间向量被广泛应用于立体几何中，用于描述空间中的位置关系和几何性质。向量的加法、减法以及标量乘法是向量运算的基础。 2. **基底的概念**：在三维空间中，一组不共面的三个非零向量称为空间的一个基底。给定的向量p和q与a和b共面，因此它们不能构成基底，必须加上与它们不共面的向量c才能构成新的基底。 3. **平面的法向量**：平面的法向量是与该平面垂直的非零向量。在点A、B、C确定的平面ABC中，可以通过计算两个不共线向量的叉积得到平面的法向量。 4. **向量的夹角**：向量a和b的夹角可以通过计算它们的点积再除以各自模长的乘积来求得，结果是弧度制的角度。当点积为0时，两个向量垂直。 5. **中点公式与向量的线性组合**：点E是BC的中点，点F是AD的中点，那么AE和AF分别可以用AB和AC或AD来表示，通过向量的线性组合求解AE·AF。 6. **点到直线的距离**：点P到直线l的距离可以用向量叉积的模长除以直线方向向量的模长来计算。这里直线的方向向量是n，点P到直线l的向量是AP，利用这些信息可以求得距离。 7. **空间四边形的向量表示**：空间四边形的边可以用向量来表示，如MN可以通过OM、OC和CN的向量组合得出。在本题中，点M是OA的2/3处，N是BC的中点，根据这些信息可以计算MN的向量表达式。 8. **平行四边形的面积**：平行四边形的面积可以通过相邻两边的向量的模长和它们的夹角的正弦值来计算。这里给出了向量a和b，通过它们的模长和夹角的正弦值可以求出平行四边形的面积。 9. **空间向量的基本定理**：空间中任何向量都可以唯一地表示为一组基底向量的线性组合。在问题中，向量d可以表示为基底向量e1、e2、e3的线性组合，由此求解x、y和z的值。 10. **异面直线所成角**：在正三棱柱中，异面直线AB1和BC1所成的角可以通过建立空间直角坐标系，找到这两条直线的方向向量，然后计算它们的点积判断是否垂直，若垂直则所成角为直角，正弦值为1。 11. **向量的线性运算**：在平行四边形中，向量的线性运算可以用来表示各个顶点之间的关系。例如，通过给出的向量，可以推断点P相对于平行四边形的位置。 以上就是关于空间向量与立体几何的相关知识点，涵盖了基底、法向量、向量的夹角、点到直线的距离、向量表示空间四边形、平行四边形面积、向量的基本定理以及异面直线所成角等概念及其计算方法。这些内容是高中数学中空间向量部分的重点，对于理解和解决立体几何问题至关重要。