等比数列是一种重要的数学序列，它具有每一项与前一项的比例恒定的特性。在等比数列中，第 n 项 \( a_n \) 可以通过首项 \( a_1 \) 和公比 \( q \) 来表示，即 \( a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} \)。等比数列的前 n 项和 \( S_n \) 可以用公式 \( S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} \) 计算，当公比 \( q \neq 1 \) 时；如果 \( q = 1 \)，则 \( S_n = na_1 \)。
在这个课时分层作业中，主要涉及了等比数列的前 n 项和及其性质。例如，题目中提到的 4 个选择题分别考察了等比数列的等差中项性质、利用等比数列性质求和、判断等比数列及求解公比等问题。填空题和解答题进一步深化了这些概念，如计算等比数列的公比、求特定项的值以及求解等比数列的和。
例如，第 1 题中，通过等差中项的性质确定了等比数列的公比，进而计算出 \( S_4 \)。第 2 题利用了 \( a_1a_5 = a_3^2 \) 的等比性质，结合 \( S_3 \) 求出公比和首项，最后求得 \( S_5 \)。第 9 题是一个混合问题，涉及到等差数列和等比数列，通过解方程组得到通项公式，并求解等比数列的部分和。第 10 题则要求找到等比数列的通项公式，并判断连续三项是否构成等差数列。
此外，解答题还涉及到等比数列的和的性质，例如在第 10 题中，通过 \( S_n \) 的公式证明了 \( Sn+1, Sn, Sn+2 \) 成等差数列。
总结来说，本课时主要涵盖了以下几个知识点：
1. 等比数列的定义及其通项公式 \( a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} \)。
2. 等比数列的前 n 项和公式 \( S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} \)（\( q \neq 1 \)）和 \( S_n = na_1 \)（\( q = 1 \)）。
3. 利用等比数列的性质解决实际问题，包括求和、求项的值、求公比等。
4. 等比数列的前 n 项和与等差中项的关系。
5. 混合等差数列和等比数列的问题解决。
通过这些题目，学生可以加深对等比数列的理解，掌握其基本性质和运算规则，提升解决相关问题的能力。
