高中数学中的导数是研究函数性质的重要工具，特别是在分析函数的极值问题上。极值是指函数在其定义域内某个点处取得的最大值或最小值。在本章中，我们关注的是函数的极大值和极小值与导数的关系。
1. 函数的极值与导数的关系：
- 当导数为零的点不一定是极值点，因为这取决于该点左右两侧导数的符号变化。例如，函数在拐点处导数可能为零，但拐点不是极值点。
- 如果在某点 \( x_0 \) 附近的左侧导数 \( f'(x) > 0 \)，右侧 \( f'(x) < 0 \)，那么 \( x_0 \) 是极大值点。这是因为函数在该点前是增函数，之后变为减函数。
- 相反，如果在 \( x_0 \) 左侧 \( f'(x) < 0 \)，右侧 \( f'(x) > 0 \)，则 \( x_0 \) 是极小值点，因为函数在此点前是减函数，之后转为增函数。
2. 函数的导数图像与极值的判断：
- 通过函数导数的图像可以判断函数的单调性，进而确定极值点。如题目中的第2题，根据导数图像可以推断出函数在 \( x = -2 \) 处取得极大值，在 \( x = 2 \) 处取得极小值。
3. 导数方程与极值计算：
- 对于三次多项式函数 \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx - a^2 - 7a \)，若在 \( x = 1 \) 处取得极大值 10，可以利用导数 \( f'(x) = 3x^2 + 2ax + b \) 求解 \( a \) 和 \( b \) 的值。根据极大值的条件，可以列出方程组求解，例如在第3题中，通过导数和函数值的条件解得 \( a \) 和 \( b \)，再验证哪个解符合极大值的定义。
4. 极值点的唯一性与韦达定理：
- 若函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 和 \( x = -1 \) 处取得极值，意味着 \( f'(x) = 0 \) 的解包括这两个点。应用韦达定理，可以得出 \( b \) 的值，如第4题所示。
5. 极值点与指数函数的导数：
- 当函数形式为 \( f(x) = e^{ax} + 3x \) 时，极值点的存在与 \( a \) 的正负有关。第5题中，分析导数 \( f'(x) = ae^{ax} + 3 \)，发现只有当 \( a < 0 \) 时，函数才有可能有大于零的极值点。
6. 导数与对数函数的极值：
- 对于函数 \( f(x) = \ln x - x \)，可以通过求导找到极大值点。第6题中，极大值点出现在 \( f'(x) = -1 \) 的解处，即 \( x = 1 \)，代入原函数求得极大值为 -1。
7. 导数与三次多项式的极值：
- 若 \( f(x) = x^3 - 3ax + 1 \) 在区间 (0, 1) 内有极小值，需确保导数 \( f'(x) = 3x^2 - 3a \) 在该区间内有零点，且这个零点位于 (0, 1) 内，从而确定 \( a \) 的取值范围。
8. 导数与三角函数的极值：
- 对于 \( f(x) = 2\cos x + x \)，可以找到极大值点通过求导数 \( f'(x) = -2\sin x + 1 \) 并解方程 \( f'(x) = 0 \)。根据 \( \sin x \) 的性质，可以找到极大值点，并计算出极大值。
9. 导数与三次多项式的极值点：
- 函数 \( f(x) = x^3 - 2ax^2 + a^2x \) 的极小值点为 \( x = -1 \)，意味着 \( f'(-1) = 0 \)，由此可以解出 \( a \) 的值。
通过这些题目，我们可以看到，求解函数极值的关键是理解导数的几何意义和函数变化趋势。求导数找出可能的极值点，然后分析这些点左右两侧的导数符号变化，来确认极值的类型。在实际问题中，还需要考虑极值点是否在定义域内以及极值点的唯一性。在解题过程中，通常需要结合导数图像、方程组解法和函数性质综合判断。
