【知识点详解】
1. 导数与函数极值的关系：
函数的极值，无论是极大值还是极小值，通常可以通过导数来确定。如果函数在某一点的导数为0，那么这一点可能是函数的极值点。对于函数f(x) = x³ - ax² - bx + a²，在x=1时有极值10，这意味着f'(1)=0且f(1)=10。通过计算导数并解方程，我们可以找到a和b的值。在这个例子中，解得a=-4，b=11。
2. 三次函数的极值分析：
三次函数f(x) = x³ - x + c的极值情况可以通过导数的正负判断。函数f(x)的导数为f'(x) = 3x² - 1，利用导数的符号变化可以找出函数的单调区间，进而确定极值点。题目中给出函数与x轴恰有两个交点，通过分析导数的根，我们可以得出c的值。
3. 指数函数与极值：
若函数y=e^x + ax有大于零的极值点，意味着导数在某点为零且该点两侧导数符号相反。通过解导数方程ex + a = 0，可以得出a的范围。在这里，由于ex恒大于0，要使x>0时有极值，a必须小于-e。
4. 对数函数与极值：
对于函数y=f(x) = x + alnx，在(a>0)上有极值点，意味着导数f'(x) = 1 + a/x在该区间内有零点。由于f'(x)是单调递增的，极值点只能使得f'(x)=0的解在给定区间内，由此可以求出a的取值范围。
5. 复合函数的极值分析：
函数xf'(x) - f(x) = x³e^x，可以使用分离变量法解出f(x)的表达式，然后通过分析导数的正负确定函数的极值情况。这里f(x)有极小值而无极大值。
6. 带参数的极值问题：
函数f(x) = 在x=a处有极小值，通过求导并令导数等于0，可以解出a的值。
7. 二次函数与极值条件：
若函数f(x) = x² + alnx在(1, +∞)上有极小值，需要确保a<0，并且极值点在给定区间内，通过解不等式求出a的取值范围。
8. 切线与极值的关系：
根据函数f(x) = x³ + 3ax² + 3bx + c在x=2处有极值，且在x=1处的切线与直线6x + 2y + 5 = 0平行，我们可以建立关于a和b的方程，求出a和b的值，然后确定函数的单调区间，从而找到极值差。
9. 含对数与根号的函数极值：
函数f(x) = alnx + 1/(x+1) + x + 1在点(1, f(1))处的切线垂直于y轴，意味着f'(1) = 0，解出a的值。接着通过求导分析函数的极值点。
总结：
这些题目都围绕着如何利用导数来研究函数的极值。导数是理解函数行为的关键工具，尤其是在寻找函数的极大值和极小值时。通过解导数为零的方程，可以找到可能的极值点，然后通过分析导数的符号变化来确定这些点是否真的是极值点。此外，导数还可以用于确定函数的单调性，从而进一步理解函数的整体结构。在处理涉及极值的问题时，常常需要结合实际的几何意义，如切线斜率、单调区间等，来帮助解决问题。
