在高中数学的学习中，导数是一个非常重要的概念，它与函数的最大值和最小值紧密相关。导数可以用来分析函数的增减性，从而找到函数的极值点，也就是可能的最大值点或最小值点。在3.3.3章节中，主要探讨了如何利用导数来确定函数在特定区间上的最值。
例如，在第一道选择题中，通过求解函数 \( f(x) = x^3 - 12x + 1 \) 的导数 \( f'(x) = 3x^2 - 12 \)，我们可以找出极值点，即 \( x = -2 \) 和 \( x = 2 \)。通过对这些点及端点 \( x = -3 \) 和 \( x = 0 \) 的函数值比较，我们可以确定在区间 [−3,0] 上，最大值为17，最小值为1。
第二题中，函数 \( y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \) 同样通过求导找到极值点 \( x = -1 \) 和 \( x = 2 \)。在区间 [0,3] 上，比较 \( f(0) \), \( f(2) \), 和 \( f(3) \) 的值，我们可以得到最大值为5，最小值为-15。
第三题，函数 \( f(x) = e^x - x \) 在区间 [1,2] 上，由于导数 \( f'(x) = e^x - 1 \) 总是正的，所以函数在该区间上单调递增，因此最大值在右端点2处取得，为 \( e^2 - 2 \)，最小值在左端点1处取得，为 \( e - 1 \)。
第四题，函数 \( f(x) = x + 2\cos x \) 在区间上，通过求导找极值点，发现 \( f'(x) = 1 - 2\sin x \) 在 \( x = \frac{\pi}{6} \) 处取得0，同时 \( f(\frac{\pi}{6}) \) 是函数在该区间上的最大值。
第五题，函数 \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \) 在 x=±1 处的切线斜率为-1，通过求导并解方程可以找到 \( a \), \( b \) 的值，进一步确定函数解析式，并通过分析极值点和端点值判断最大值和最小值的和为零。
第六题，函数 \( f(x) = \sqrt{x^2 + b} \) 在某个区间上单调递增，意味着其导数在该区间内至少有一部分是正的，即 \( b < \sqrt{x^2 + x} \) 有解，从而确定 \( b \) 的范围。
在填空题中，通过同样的方法，我们找到了函数 \( f(x) = 2x^3 - 6x^2 + m \) 在区间 [-2,2] 上的最大值3对应的参数m，从而求出最小值。对于 \( f(x) = e^x \) 和 \( g(x) = \sqrt{1 + x^2} \)，寻找 \( x_2 - x_1 \) 的最小值，可以通过转换成函数的等值线问题来解决。
这些题目展示了如何运用导数来研究函数的最大值和最小值，这是求解实际问题和理解函数性质的关键技能。通过求导找到极值点，再比较端点值，可以确定函数在指定区间上的最值。在实际应用中，这个方法对于优化问题、物理模型的分析以及各种工程问题的解决都具有重要意义。
