在高中数学复习中，数学归纳法是一种重要的证明方法，尤其在处理与正整数相关的性质时。本部分内容涉及了如何运用数学归纳法进行证明和解题。以下是详细的知识点讲解：
1. **数学归纳法的基本步骤**：
- **基础步骤**：证明当n取初始值（通常是n=1或n=2）时命题P(n)成立。
- **归纳步骤**：假设当n=k时命题P(k)成立，然后证明当n=k+1时，命题P(k+1)也必须成立。
2. **数学归纳法的应用**：
- 在选择题1中，题目说明如果P(n)对n=k和n=k+2都成立，且P(2)成立，那么P(n)对所有正偶数n成立。这是因为每次增加2，始终保持了偶数的特性。
- 选择题2是关于选择合适的起始值n0来证明不等式。这里应该选择最小的n使得不等式成立，即n0=6。
- 选择题3的错误在于从n=k到n=k+1的推理中没有利用归纳假设，因此答案是D。
- 选择题4中，当n=k+1时，等式左边应该添加的是第k项和第k+1项的平方和，即2k和2k+1的平方。
- 选择题5展示了如何在等式两边添加项以完成从n=k到n=k+1的过渡，正确答案是(k+1)²加上k²。
- 选择题6涉及到奇数情况，归纳假设应该是从n=2k-1到n=2k+1。
3. **填空题**：
- 填空题7是关于平方数的分解，需要找到m³的分解中最小的数。根据给定模式，可以发现m²=(n-1)(n+1)，所以m³的最小数为21，解得m+n=15。
- 填空题8涉及到求和公式的变化，f(k+1)-f(k)表示的是从k²到(k+1)²的累加项，即(k+1)²-k²。
- 填空题9可能是要求推测出数列{cn}的通项公式，通过对c1, c2, c3的计算，找出规律。
4. **解答题**：
- 解答题10要求找到数列{an}的通项公式，先计算前几项并尝试找到模式，然后使用数学归纳法证明。
- 解答题11是要证明一个级数小于2的不等式，需要先验证基础步骤，然后假设n=k时成立，推导n=k+1的情况。
- 解答题12涉及到等比数列的前n项和，要求证明关于Sn和an的不等式，这通常需要用到等比数列的性质和数学归纳法。
在进行数学归纳法证明时，关键在于理解归纳步骤中必须利用假设P(k)的成立来推导P(k+1)的成立。此外，观察模式、找出规律以及熟练掌握基本的数学概念和公式也是解决问题的关键。
