【三维设计】2014届高考数学一轮复习中，教师备选作业的主题聚焦于第四章第二节——平面向量基本定理及坐标表示。这部分内容是高中数学中的关键知识点，对于理解和解决几何问题至关重要。
一、平面向量基本定理：
平面向量基本定理表明，如果一个向量可以被两个不共线的向量唯一地表示为线性组合，那么任何两个不共线的向量都可以作为平面内所有向量的一组基，即任何向量 **a** 可以表示为 **a = x*b1 + y*b2**，其中 **b1** 和 **b2** 是基向量，x 和 y 是相应标量。
二、向量共线与坐标表示：
题目中涉及到的向量共线条件是，如果两个向量 **a** 和 **b** 共线，那么存在一个标量 λ 使得 **a = λb** 或 **b = λa**。在选择题中，通过计算向量的坐标关系来确定共线情况。例如第1题和第4题就是通过坐标运算求解 λ 值，从而判断向量是否共线。
三、向量的加减运算与坐标变换：
向量的加法和减法是向量的重要运算，可以通过坐标直接相加减得到结果。在填空题第7题中，通过向量的坐标运算求解点A、B、C共线的条件。同样，第8题中，利用向量的加法和减法，以及中点性质，找到向量的坐标表示。
四、向量的平行与共线条件：
向量平行（共线）的坐标表示是通过坐标之间的比例关系来确定的。比如第3题和第9题，通过检验两向量坐标对应分量的比例关系，来判断向量是否平行。
五、向量的数量积与向量共线的关系：
向量的数量积（点积）可以用来判断向量是否垂直。在选择题第4题中，利用向量平行的条件和数量积公式，求解角度 θ 的值。
六、向量的线性组合与共线问题：
解答题部分，如第10题和第11题，涉及到向量的线性组合及共线条件。通过解方程找到 λ 的值，确保向量 λa + b 与 c 共线。第11题进一步扩展到三角形内部的点P，利用向量线性组合表示其他点的位置。
七、向量的几何应用：
第12题展示了向量在几何问题中的应用，如确定点的位置、判断三点共线以及计算三角形面积。通过向量的线性组合可以确定点M的位置，并根据向量的垂直关系和面积公式求解参数a的值。
这个教师备选作业覆盖了平面向量的基本概念，包括向量的定义、共线、坐标表示、数量积、线性组合等核心知识点，这些都是高中数学中解决几何问题的基础工具。通过这些练习，学生能深化理解向量理论，提高几何问题的解决能力。
