【知识点详解】
立体几何是高中数学中的重要组成部分，特别是在解决空间几何问题时，空间向量的方法已经成为现代数学教育中常用且高效的一种工具。本专题升级训练主要针对的是如何利用空间向量来解决立体几何问题，这包括理解向量的性质、向量的运算以及向量在解决空间几何中的应用。
1. **向量的定义与性质**：向量是由起点和终点确定的一条有向线段，具有大小和方向。在空间中，向量可以表示位置、方向和长度。平面内的向量可以通过坐标表示，而在空间中，向量通常有三个分量。
2. **向量的运算**：向量加法是将两个向量的起点对齐，然后将第二个向量从第一个向量的终点开始画出。向量减法是向量加法的逆运算，相当于第一个向量加上相反的第二个向量。向量的标量乘法是将向量的大小乘以一个标量，方向不变。
3. **向量的数量积与向量积**：数量积（点积）表示两个向量之间的内积，结果是一个标量，它与两个向量的夹角有关。向量积（叉积）表示两个向量的外积，结果是一个新的向量，其方向垂直于原来的两个向量，并且其大小等于原来两个向量的长度与它们夹角的正弦的乘积。
4. **向量与平面的关系**：平面的法向量是垂直于该平面的非零向量，它决定了平面的方向。如果一个向量与平面的法向量垂直，那么这个向量就平行于该平面。
5. **向量在立体几何中的应用**：利用空间向量，可以解决诸如线面角、面面角、点到平面的距离等问题。例如，两个平面的夹角等于它们法向量的夹角；一条直线与平面的夹角等于直线方向向量与平面法向量的夹角的补角。
6. **空间几何中的异面直线**：在立体几何中，两条不交且不在同一平面上的直线称为异面直线。异面直线所成的角是通过找到一个公共平面，并计算这两条直线在这个平面上的投影所成的角。
7. **立体几何问题的求解步骤**：通常包括建立空间坐标系，确定相关点的坐标，求出向量，计算向量的夹角或数量积，进而得出几何问题的答案。
8. **三棱柱与正方体的性质**：在直三棱柱和正方体中，利用向量可以方便地分析线与线、线与面、面与面的关系。例如，直三棱柱的侧棱与底面的垂直关系可以通过向量的垂直性来验证。
本训练题旨在通过一系列的选择题、填空题和解答题，帮助学生掌握空间向量在解决立体几何问题中的运用，提高他们理解和解决这类问题的能力。这些题目涵盖了向量法解决立体几何问题的各种基本类型，包括找角度、判断线面关系、计算体积等，是全面检验学生对这一知识点掌握程度的有效方式。
