2013年全国高考数学第二轮复习 专题升级训练13 用空间向量的方法解立体几何问题 理

空间向量是现代数学中解决立体几何问题的强大工具，尤其在高中数学的复习阶段，它为理解和解决复杂的几何问题提供了直观且简洁的途径。本文主要针对2013年全国高考数学第二轮复习中的专题训练13，即“用空间向量的方法解立体几何问题”，探讨了几何体中的角度计算、线面关系以及体积计算等相关知识点。 平面与轴的夹角可以通过平面的法向量与轴单位向量的点积来确定。例如，题目1中提到的平面α的法向量n=(1, -1, 0)，y轴的单位向量为(0, 1, 0)，它们之间的点积可以用来计算夹角的余弦值，进而得到夹角的大小。 二面角的大小可以通过两个平面的法向量的夹角来求解。题目2中，若两个法向量的夹角为130°，则二面角的大小可能是130°或50°，这是因为法向量的夹角与二面角的大小相等或互补。 再者，异面直线所成的角可以通过构建空间坐标系，找到直线的方向向量，然后计算这两个方向向量的夹角来确定。题目3中，异面直线AB1与A1M所成的角可以通过坐标运算来求解，最终得到该角是否为60°、45°、30°或90°。 对于直线与平面所成的角，可以利用线面垂直的性质来求解。例如，题目4中，通过分析正三棱柱的几何结构，可以找到直线EF与BC1所成的角。如果EF平行于平面ABC，那么它们之间的夹角可能是45°、60°或90°。 此外，几何体的体积问题可以通过空间向量来解决。比如题目6中的三棱锥A-BEF，其体积可以通过底面积乘以高来计算，而高度则与动点E、F的位置有关。若EF长度固定，那么三棱锥的体积将是一个常数。 解答题部分涉及到的立体几何问题更复杂，如四边形ABCD的正方形底面和垂直于底面的PD，或者圆锥PO等，需要综合运用空间向量的运算规则，包括向量的投影、点积、线面垂直和平行的判断，以及二面角的求解。 用空间向量的方法解立体几何问题，可以将三维空间的问题转化为二维向量的运算，使得问题简化，计算更为直接。这要求学生不仅要熟练掌握向量的基本运算，还要能够灵活应用这些知识去解决实际的几何问题。在高考复习中，这样的专题训练有助于提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。