【知识点详解】
1. 一元二次方程的定义：一元二次方程是指形如 ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的方程，其中 a, b, c 是常数，x 是未知数。在题目中的第1题，要求 a 的取值范围使得方程 (a-1)x^2 + 2x - 1 = 0 是一元二次方程，因此 a 必须不等于 0。
2. 一元二次方程的判别式：对于一般形式的一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，判别式 Δ = b^2 - 4ac 决定了方程的根的性质。如果 Δ > 0，则方程有两个不相等的实数根；如果 Δ = 0，则方程有两个相等的实数根；如果 Δ < 0，则方程没有实数根。第2题中，通过计算判别式判断一元二次方程的根的情况。
3. 图形的对称性：在几何学中，中心对称图形关于某个点对称，而轴对称图形关于一条直线对称。第3题要求找出既是中心对称又是轴对称的图形，正方形符合条件。
4. 一元二次方程根与系数的关系：对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的两个根 x1 和 x2，它们的乘积 x1 * x2 等于 c/a。在第4题中，利用这一关系求解 x1 * x2 的值。
5. 全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等。第5题中，因为 △ABC ≌ △ADE，所以 ∠B = ∠D，结合已知条件求解 ∠EDC。
6. 圆的性质：在圆中，垂径定理指出，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。第6题利用此定理求解 ∠BAC。
7. 数列的增长规律：第7题涉及数列的规律，从图形中可以看出每个新的图案增加了两个小木棒，因此可以计算出第六个图案需要的小木棒数。
8. 树形结构的数学模型：第8题中，主干长出 x 个支干，每个支干又长出相同数目的小分支，可以构建一个指数型的树形结构，然后列出方程求解 x。
9. 抛物线的平移：抛物线 y = ax^2 + bx + c 的平移规律是：上加下减，左加右减。第9题中，抛物线向上平移2个单位，向右平移1个单位后，根据平移规律求解新顶点坐标。
10. 最短路径问题：第10题涉及到求线段 AQ + PQ + PB 的最小值，这可以通过分析图形找到最短路径，即三点共线时取得最小值。
11. 一元二次方程的基本概念：方程 3x^2 - 2x - 1 = 0 的各项系数分别是二次项系数3，一次项系数-2，常数项-1。
12. 关于原点对称的点的坐标：点 A(-1, 2)关于原点的对称点 B 的坐标为(1, -2)，因为关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数。
13. 实数运算：第13题中，实数对 (x, -2x) 输入魔术盒后得到 -1，根据魔术盒的规则 a^2 - 2b + 3 = -1，解这个方程求得 x 的值。
14. 圆的几何性质：第14题中，利用垂径定理和圆周角定理求解 CD 的长度。
15. 抛物线的图象识别：第15题要求解当 y < 0 时，x 的取值范围，通过观察抛物线图象的开口方向和顶点位置确定。
16. 等边三角形的性质：在第16题中，利用等边三角形的性质以及相似三角形的概念求解 BE 的长度。
17. 解一元二次方程：第17题使用公式法解方程 x^2 + x - 3 = 0，即 x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a。
18. 抛物线的顶点式和标准式：第18题中，首先由顶点坐标得到抛物线的顶点式，然后将给定的点代入求解标准式，最后确定 y > 0 时 x 的取值范围。
19. 垂径定理的应用：第19题中，证明 AD = CD 需要利用圆的垂径定理和相似三角形的性质。
20. 旋转图形：第20题涉及图形的旋转，包括画出旋转后的图形，建立坐标系并确定点B'的坐标，以及计算旋转过程中覆盖的面积。
21. 几何设计问题：第21题要求设计一个满足特定比例的彩条图案，需要求解彩条的宽度以达到特定的面积占比。
22. 函数优化问题：第22题是关于成本和利润的优化问题，需要找到在给定条件下的最佳进货策略，包括计算总成本和利润，确定可行的进货方案。
以上内容涵盖了数学中的多个知识点，包括一元二次方程的性质、图形的对称性、数列的增长规律、树形结构的数学模型、几何图形的性质、函数解析式、一元二次方程的解法、坐标几何、等边三角形的性质、垂径定理、旋转图形、几何设计和函数优化问题。这些知识点在初中数学学习中都是非常重要的。
