2015_2016学年高中数学第3章三角恒等变形基础知识检测北师大版必修4

【知识点详解】 高中数学第三章主要探讨的是三角恒等变形，这是高中数学中的核心内容，主要涉及三角函数的基本性质、二倍角公式、三角恒等式以及三角函数图像的平移变换等。以下是对这些知识点的详细解释： 1. **二倍角公式**：在题目中，例如问题1和4，都涉及到二倍角公式sin2α=2sinαcosα和cos2α=1-2sin²α或cos²α=1-sin²α。这些公式在求解三角函数值时非常关键，通过它们可以简化计算，解决复杂的三角问题。 2. **三角恒等式**：问题2展示了正弦的和差公式sinαcosβ=sin(α+β)/2-sin(α-β)/2，这种恒等式在求和差角的正弦值时很有用。同时，问题6中使用了正切的差公式tan(α-β)=tanα-tanβ/1+tanαtanβ，是解决涉及两角差的正切问题的常用方法。 3. **三角函数的值域与性质**：问题7中，函数y=cos2(x-π/4)-cos2(x+π/4)经过恒等变换后，最终求得的值域为[-1,1]，这体现了余弦函数的值域特性。同样，问题9讨论了三角函数图像的平移，由y=cos3x变换成y=sin3x+cos3x，再转换成y=cos(3x-π/4)，从而理解平移单位对图像的影响。 4. **三角函数的图像变换**：在问题9中，函数y=sin3x+cos3x可以转换为y=cos(3x-π/4)，这表明原函数y=cos3x需向右平移π/8个单位才能得到目标函数。这种变换是基于三角函数图像周期性和相位移动的理解。 5. **三角函数的关系**：问题10和11涉及到了正切函数的和差公式，如tan(α+β)=tanα+tanβ/1-tanαtanβ和tanα/tanβ=sinα/sinβ，它们在解决涉及到多个角度的正切问题时非常有用。 6. **三角形的性质**：问题12考察了三角形内角和外角的关系，当tanA=(sinC-sinB)/(cosB-cosC)时，可以推导出角A与角B或C之间的关系，从而判断三角形的类型。这涉及到三角形的内角和外角的性质，以及正切函数的定义。 7. **三角函数的综合应用**：在这些题目中，学生需要灵活运用三角函数的基本关系、二倍角公式、和差公式以及图像变换等知识，进行综合分析和计算，体现出对三角函数理论的全面理解和熟练掌握。 本章内容要求学生具备扎实的三角函数基础，能够熟练运用各种三角恒等式进行化简和求值，同时理解三角函数图像的性质和变换规律，以及三角形的相关性质。这些知识不仅在高中数学中至关重要，也是大学数学乃至更高级别数学学习的基础。