高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第9讲离散型随机变量的均值与方差正态分布知能训练轻松闯关理北师大版

在高考数学一轮复习中，离散型随机变量的均值（数学期望）和方差是重要的概念，它们用于描述随机变量的平均值和波动程度。数学期望是随机变量所有可能值按照其概率加权后的平均值，是衡量随机变量取值中心趋势的一个量。在例题1中，通过分布列求解随机变量X的数学期望，我们需要计算每个值乘以其对应概率然后相加，即EX=∑Xi*Pi。 正态分布是统计学中的一个重要分布，通常用来描述自然界中许多现象的数据分布，如人的身高、考试成绩等。在例题2中，利用正态分布的性质，我们可以计算落在特定区间的概率。若随机变量ξ服从均值μ、标准差σ的正态分布，那么它落在μ±kσ之间的概率可以用标准正态分布表查得，其中k表示标准差的倍数。在这个例子中，计算了ξ落在(0,80)内的概率，通过概率的互补性得到答案。 离散型随机变量的最大值问题在例题3中出现，这里的X是取到的三支签中号码最大的一个。我们可以通过列出所有可能的情况和对应的概率来求解数学期望EX，即求出每个可能的最大值乘以其概率再相加。 分层抽样是一种常用的数据分析方法，尤其在处理具有不同特征的样本时。在例题4中，利用正态分布的对称性，我们可以找到140分及以上分数的概率，进而根据分层抽样的比例计算出需要抽取的试卷数量。 随机变量的期望值也可以应用在实际问题中，如例题5中的种子发芽率问题。如果知道每粒种子发芽的概率，可以计算出不发芽的种子数量的期望，进而确定需要补种的种子数的期望值。 公共汽车车门高度的设计基于男子身高服从正态分布的假设。为了确保只有极少数人会碰到车门，设计高度应该至少是平均身高的两个标准差之上，即μ+2σ，以此来满足不超过0.0228的碰头概率。 在统计学的另一个应用场景中，如例题7，"三位递增数"的问题涉及到随机变量X的分布列和期望。X的取值依赖于数字能否被5整除，从而决定得分。计算分布列后，可以通过加权平均的方式求得期望值EX。 离散型随机变量的均值和方差是理解和应用概率论的关键概念，而正态分布是描述数据分布的重要工具，这些知识在高考数学中占据重要地位，也是日常生活中解决问题的基础。通过解决实际问题，如种子发芽率、车门设计、面试签约等，可以深化对这些概念的理解，并提高解决问题的能力。