2021高考数学一轮复习第11章计数原理概率随机变异及分布列第9讲离散型随机变量的均值方差和正态分布课件新人教B版

离散型随机变量的均值和方差是统计学中衡量随机变量性质的重要概念，尤其在高考数学复习中，这是不可或缺的知识点。均值（E(X)）也称为数学期望，它代表了随机变量X所有可能值的加权平均，公式为\(E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i\)。这个值反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量取值的中心趋势指标。 方差（D(X)）则用来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度，公式为\(D(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i\)。方差越大，说明随机变量的取值分布越分散，反之，方差越小，随机变量的取值更集中。方差的非负算术平方根被称为随机变量的标准差，它与随机变量具有相同的单位，更直观地展示了数据的波动范围。 对于正态分布，它是统计学中最重要的一种连续分布，其特点包括： 1. 曲线位于x轴上方且不与x轴相交。 2. 正态曲线是单峰且对称的，对称轴是\(x = \mu\)，其中\(\mu\)是均值。 3. 曲线在均值\(\mu\)处达到峰值，高度与标准差\(\sigma\)有关。 4. 曲线与x轴之间的面积为1，意味着所有可能的结果都被包含在内。 5. 当标准差\(\sigma\)固定时，均值\(\mu\)的改变仅影响曲线在x轴上的位置，不影响曲线的形状。 6. 标准差\(\sigma\)决定了曲线的形状，\(\sigma\)越小，曲线越瘦高，数据分布越集中；\(\sigma\)越大，曲线越矮胖，数据分布越分散。 正态分布还有一些常用的百分位数： - \(P(\mu-\sigma<X\leq\mu+\sigma)\)大约等于0.6826，这是单个标准差内的概率。 - \(P(\mu-2\sigma<X\leq\mu+2\sigma)\)大约等于0.9544，这是两个标准差内的概率。 - \(P(\mu-3\sigma<X\leq\mu+3\sigma)\)大约等于0.9974，这是三个标准差内的概率。 在实际应用中，这些概念和性质经常用于解决实际问题，比如分析考试成绩、预测天气对销售的影响，或者在金融领域评估风险等。通过理解和掌握离散型随机变量的均值、方差和正态分布，我们可以更好地理解和预测不确定事件的发生概率，从而做出更科学的决策。