2019年高考数学大二轮复习专题二函数与导数2.3二导数的综合应用练习

以 f(x)＝ex－eln x－e.现在我们计算 f''(x)，得到 f''(x)＝ex－.由于 e>0，x>0，f''(x)的符号取决于 ex 和 的大小关系。当 x<1 时，ex< ，f''(x)<0，函数 f(x)在此区间内是凸下的；当 x=1 时，f''(x)=0；当 x>1 时，ex> ，f''(x)>0，函数 f(x)在此区间内是凸上的。因此，x=1 是函数 f(x)的拐点，即 f(x)在 x=1 处取得极小值。 (2)为了使 f(x)在 x∈[1，＋∞)时恒非负，我们需要确保 f(x)在 x=1 处的极小值非负，并且对于所有 x>1，f(x)也非负。由(1)知，f(1) = 0，这是最小值。因此，我们只需要考虑 x>1 的情况。对于 x>1，ex>e，aln x总是小于 ex，因为ln x<1/x 对所有 x>1 成立。所以，ex－aln x－e>ex－e>0，这表明当 x>1 时，f(x)>0 恒成立。因此，a 的取值范围是实数集 R，无论 a 取何值，f(x)在 [1，＋∞)上均非负。 题目中涉及的知识点包括： 1. 函数的导数及其几何意义，如判断函数的增减性。 2. 高级导数（二阶导数），以及二阶导数与函数凹凸性的关系。 3. 函数的最值问题，通过求导找到可能的极值点。 4. 利用导数分析函数的单调性，判断函数图形的性质。 5. 存在性问题，如寻找函数零点个数。 6. 不等式恒成立问题，通过转化和分离变量求解参数范围。 这些知识点都是高等数学中的核心内容，对于高考数学复习至关重要，尤其是针对函数与导数的综合应用。在解决这类问题时，通常需要结合导数的性质、函数的单调性、最值和不等式的解法，进行综合分析和计算。