全国通用2016高考数学二轮复习专题一第4讲导数与函数图象的切线及函数零点问题

在高考数学复习中，掌握导数的概念及其在函数图像上的应用是极为重要的。特别是在二轮复习阶段，这一部分的知识点对于学生的解题能力和数学思维的提升有着不可替代的作用。本文将结合专题一第4讲的内容，系统地讲解导数与函数图像切线以及函数零点的相关问题。 我们来探讨导数的几何意义。导数在数学中可以被理解为函数在某一点处切线的斜率。这一概念对于解决实际问题至关重要，例如，计算切线方程，帮助我们更直观地理解函数在某一点附近的瞬时变化率。在复习过程中，通过具体的题目实践，如选择题中通过导数求切线斜率并进而确定切线方程，可以加深对导数几何意义的理解。 接着，我们学习如何利用点斜式求出过函数图像上某一点的切线方程。点斜式方程y - y1 = m(x - x1)中的m即为切线斜率，(x1, y1)则是切点的坐标。在具体的题目中，如第4题，我们可以通过已知的点坐标和斜率，快速写出切线方程，这不仅锻炼了学生的计算能力，也加深了对切线概念的理解。 函数零点是另一个重要的知识点。零点是函数图像与x轴的交点，是函数值等于零的自变量值。在复习中，我们可以通过求解方程或利用零点存在性定理来寻找函数的零点。例如第5题，考察了两个函数的零点，并通过函数的单调性比较了零点的大小，帮助学生深化对函数零点问题的理解。 在探索导数与函数极值的关系时，我们发现导数可以帮助我们确定函数的极大值和极小值点。导数为零且附近符号改变的点可能是极值点。第7题通过分析导数的正负来确定函数的极大值和极小值，并根据条件确定实数a的取值范围，这不仅加深了对极值点判定方法的认识，也锻炼了逻辑推理能力。 方程解的个数判断是解题过程中的一项重要技能。通过分析函数的导数，我们可以判断方程根的个数，特别是对于三次方程。例如，导数恒正或恒负时，函数单调，只有一个实根；若导数有变号零点，则可能存在多个实根。第8题便是一个典型的例子，通过导数的分析来确定方程解的个数。 函数的单调性是理解函数图像性质的基础。如果函数的导数始终非负（或非正），则函数在整个定义域内单调递增（或递减）。通过具体的例子，如第5题中的f(x) = ex + x - 2，我们可以通过计算导数f'(x) = ex + 1来确定函数的单调性。 我们讨论了曲线的性质，比如第9题中的曲线C：y = eax，在点(0,1)处的切线以及它与直线y = ax + b的关系。这类题目不仅涉及到指数函数的性质，还包括不等式的恒成立问题，这对于提升学生的综合数学素养有着重要作用。 总结起来，专题一第4讲涵盖了高中数学中的关键知识点，包括导数概念的深入理解、切线方程的求解、函数零点的判断、极值点的寻找、方程解个数的分析以及曲线性质的探讨。掌握这些内容，对于备战高考数学至关重要。对于希望在数学学科取得优异成绩的学生来说，通过这些典型题目的练习，能够有效提高自己的解题技巧和数学素养。