排列组合典型题大全含答案.doc

排列组合是离散数学中的重要概念，主要研究的是在有限集合中进行无序或有序的选择。这个文档提供了多个关于排列组合典型题目的解答，涵盖了多种常见的解题技巧和方法。 1. 可重复的排列（住店法）： 在一些问题中，元素可以重复选择，而另一些元素不可重复。例如，【例1】中，学生报名参加比赛，每人均可自由选择科目，即元素可重复。在这种情况下，我们通常将不可重复的元素视为“客人”，可重复的元素视为“旅馆”，通过计算“客人”住在“旅馆”的所有方式来求解。例如，4名学生报名参加3门学科，每个人都可以报名一科，就是4^3种方法。 2. 分步计数原理： 当一个任务需要分成多个步骤完成时，每个步骤都有独立的选择，可以使用分步计数原理。如【例2】所示，6名实习生分配到7个车间实习，每名实习生有7种选择，所以总共是6步乘以7种，即6^7种方法。 3. 冠军争夺问题： 在某些情况下，冠军是不可重复的，但一个参赛者可能赢得多个冠军。如【例3】所示，8名同学争夺3项冠军，使用“住店法”计算，每个冠军有8种可能性，总共有3^8种不同的结果。 4. 相邻问题（捆绑法）： 当题目要求某些元素必须相邻时，我们可以将这些元素捆绑在一起作为一个大元素处理。例如【例1】中，A和B必须相邻，我们可以将它们视作一个单元，然后与其他元素进行排列。对于其他相邻元素，比如丙和丁，同样可以捆绑处理。 5. 排列与组合的区别： 排列考虑顺序，组合不考虑顺序。比如【例4】5名学生报名4项比赛，每人限报一项，是排列问题，因为报名的比赛项目顺序不同是不同的报名方法。而如果问的是他们争夺冠军的可能性，由于一个学生可以赢得多个冠军，这涉及到组合，因为冠军数量和学生数量有关，但不考虑他们获得冠军的顺序。 6. 限制条件的处理： 有些问题会有特定的限制条件，如【例5】甲乙丙分10瓶汽水，可能涉及到分配的限制，或者是【例7】中，5位同学报名并负责两个课外活动小组，负责人可以兼职，这就需要考虑兼职情况下的组合数。 7. 分组分配问题： 当需要将元素分组分配到不同类别时，如【例8】实习教师分配到班级，可能涉及组合分配问题，特别是当每班至少需要一定人数时，需要使用更复杂的组合计数技术。 排列组合题目的解决需要灵活运用各种计数原理和技巧，理解题目的要求和元素间的相互关系，以及注意元素的可重复性和顺序性。通过练习这些典型题目，可以帮助我们更好地掌握排列组合的概念和应用。