高中排列组合知识点汇总及典型例题(全).doc

高中排列组合是数学中基础但重要的概念，主要涉及如何计算在特定条件下完成任务的不同方法数量。以下是这些知识点的详细解析： 1. **基本原理** - 加法原理：如果完成一件事情有n种独立的方法，那么所有方法的总数是n个方法的和。 - 乘法原理：如果完成一件事情需要n步，每一步都有各自的方法数，那么完成这件事情的方法数等于各步骤方法数的乘积。 2. **排列** - 排列是从n个不同的元素中选取m个元素，并按照一定顺序排列的方式。排列的数量可以用排列公式表示： - 排列数公式：`P(n,m) = n! / (n-m)!`，其中`!`代表阶乘。 3. **组合** - 组合是从n个不同的元素中选取m个元素，不考虑顺序。组合数公式有以下几种形式： - 组合数公式：`C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]` - 二项式系数：`C(n,m) = C(n,n-m)`，即从n个不同元素中选取m个元素与选取n-m个元素的组合数相同。 - 递推关系：`C(n+1,m) = C(n,m) + C(n,m-1)`，用于计算组合数。 4. **处理排列组合应用题** - 解题步骤：明确任务，判断有序/无序，分步/分类。 - 解题策略： - 直接法：直接计算所有可能的情况。 - 间接法：先算总体，再排除不符合条件的情况。 - 分类处理：将问题分成多个类别，确保类别间互斥，类别覆盖全面。 - 分步处理：将问题分解为多个步骤，每个步骤的方法数相乘。 - 元素分析法和位置分析法：关注元素本身的性质或它们在排列中的位置。 5. **排列应用题技巧** - 穷举法：列出所有可能的排列。 - 特殊元素/位置优先：优先处理有特殊要求的元素或位置。 - 相邻问题：捆绑法：将相邻元素视为一个整体，先与其他元素排列，再排列内部顺序。 - 全不相邻问题：插空法：先排无限制的元素，再在空隙中插入。 - 顺序一定：除法处理，先全排列再除以定序元素的排列数。 6. **组合应用题技巧** - “至少”、“至多”问题：通常使用间接排除法或分类法。 - “含”与“不含”问题：同样用间接排除法或分类法。 - 分组问题：均匀分组需要除以组数的阶乘，非均匀分组直接用组合计算，混合分组需结合均匀分组处理。 - 分配问题：定额分配要考虑元素指定到特定位置，一般涉及到排列。 7. **数字问题** - 关于整除性，了解每个数位的影响，如能被2、3、4、5、6、9、25整除的数的特征。 排列组合的知识不仅在高中数学中至关重要，也在计算机科学（如组合优化、图论等）和其他领域中有广泛应用。理解并熟练掌握这些概念和技巧，对于解决实际问题具有极大的帮助。