第六节 函数图形的描绘.ppt

### 第六节 函数图形的描绘 #### 一、渐近线 在数学分析中，渐近线是指当自变量接近某一点或无限大时，函数图像无限接近于某条直线的情形。根据渐近线与坐标轴的关系不同，可以分为铅直渐近线、水平渐近线以及斜渐近线三种类型。 ##### 1. 铅直渐近线 铅直渐近线是指函数在某一点趋于无穷大时，图像无限接近于一条垂直于x轴的直线。如果函数\(f(x)\)在\(x=a\)处无定义，并且\(\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty\)或\(\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty\)，那么直线\(x=a\)就是\(f(x)\)的一条铅直渐近线。例如，对于函数\(f(x) = \frac{1}{(x-1)(x-2)}\)来说，存在两条铅直渐近线：\(x=1\)和\(x=2\)。 ##### 2. 水平渐近线 水平渐近线是指当\(x\)趋向于正无穷或负无穷时，函数\(f(x)\)的极限为有限值\(L\)，则直线\(y=L\)称为\(f(x)\)的水平渐近线。例如，函数\(f(x) = \frac{x+1}{x}\)，随着\(x\)的增大，函数值趋近于1，因此\(y=1\)是该函数的水平渐近线。 ##### 3. 斜渐近线 斜渐近线是指当\(x\)趋向于正无穷或负无穷时，函数\(f(x)\)与一条斜率为\(m\)的直线\(y=mx+b\)之间的距离趋于0，则这条直线称为斜渐近线。斜渐近线的求法可以通过计算\(f(x)\)的斜率\(m=\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}\)以及截距\(b=\lim_{x \to \pm\infty} (f(x)-mx)\)来得到。 #### 二、函数图形的描绘步骤 函数图形的描绘通常涉及以下步骤： 1. **确定函数的定义域**：首先确定函数的定义域，即函数的有效输入范围。 2. **求导**：计算函数的一阶导数和二阶导数，用于判断函数的单调性和凹凸性。 3. **列表判别增减及凹凸区间**： - 计算一阶导数的零点，这些点可能是极值点； - 计算二阶导数的零点，这些点可能是拐点； - 分析一阶导数的符号变化来确定函数的增减区间； - 分析二阶导数的符号变化来确定函数的凹凸区间。 4. **求渐近线**：根据上述定义分别找出函数可能存在的铅直渐近线、水平渐近线或斜渐近线。 5. **确定特殊点**：找到函数图像中的极值点、拐点、间断点等特殊点，并考虑函数的对称性（如周期性）。 6. **描绘函数图形**：基于以上所有信息，在坐标系中描绘出函数的图形。 #### 三、作图举例 以例2为例，给出具体步骤： 1. **确定函数性质**：首先确定函数是否为奇函数、偶函数或者既不是奇函数也不是偶函数。在这个例子中，假设函数是非奇非偶的，并且没有明显的对称性。 2. **列表确定函数性质**：通过列表的方式，确定函数的增减区间、凹凸区间以及极值点和拐点的位置。假设经过计算后，发现该函数没有拐点，但是存在一个极值点。 3. **考虑间断点**：如果函数存在间断点，需要特别标记出来。 4. **描绘图形**：根据所有的信息绘制出函数的图形。 #### 四、小结 函数图形的描绘是一个综合性很强的过程，它涉及到函数的各种性质，如单调性、凹凸性、极值、拐点等，同时也包括了函数的渐近线分析。正确地描绘函数图形不仅能够帮助我们更好地理解函数的行为，而且对于解决实际问题具有重要意义。在学习过程中，应该重视对函数性质的深入理解和实践操作，这样才能有效地提高解决复杂问题的能力。