数据结构常见问题：12单元30 旅行商问题.doc

【旅行商问题】是组合优化领域的一个经典问题，它的目标是找到一条访问所有城市一次且仅一次，并最终返回起点的最短路径。这个问题在数据结构和算法中具有重要的地位，因为它是一个典型的NP完全问题，意味着在多项式时间内找到最优解是困难的。 1. **动态规划解法**： 动态规划法是解决旅行商问题的一种常用策略。它基于最优子结构和重叠子问题的特性。状态变量通常表示为`gk(i,S)`，代表从起点出发经过k个城市到达i的最短距离，S是包含k个城市的集合。动态规划通过递推关系来构建解决方案，例如`gk(i,S)=min[gk-1(j,S\{j})+dji]`，其中`j∈S`，`dji`是城市j到i的距离。这种方法避免了重复计算子问题，通过存储子问题的解来减少计算量。 2. **分支限界法**： 分支限界法适用于解决旅行商问题，尤其是最小耗费的情况。解空间以排列树的形式呈现，使用优先队列（如最小堆）来存储活节点。每个节点包含当前路径、路径耗费、子树中最小耗费以及未来路径的最小耗费总和。搜索过程从根节点开始，逐步扩展节点，直到找到满足条件的最优解。分支限界法的关键在于剪枝，通过设置下界来剔除不可能产生最优解的分支，以降低搜索空间。 在实际编程实现中，会有一个最小优先队列`MinHeap`，初始时放入根节点。计算每个顶点的最小出边耗费`MinOut`，如果所有顶点都有出边，则进行分支定界搜索。搜索过程中，不断更新当前找到的最小耗费值`bestc`，并根据节点的`lcost`和`rcost`进行扩展。在C++的模板函数`BBTSP`中，可以看到这样的实现逻辑，使用`MinHeap`来存储活节点，并计算最小耗费边的耗费`MinOut`。 解决旅行商问题需要理解动态规划和分支限界法的基本概念，以及如何将它们应用到实际的算法设计中。这两种方法各有优势，动态规划适用于解决具有明确子问题划分的问题，而分支限界法则在处理复杂搜索空间时更为灵活。然而，由于旅行商问题的复杂性，实际应用中往往采用近似算法或启发式算法来获得接近最优但不一定是全局最优的解。