数据结构常见问题：12单元21 不定方程问题.doc
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2022-06-26
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《数据结构》课程常见问题
----单元 21 不定方程问题
1．不定方程问题？
解析：
我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定
的，例如方程
x-2y=3，
方程组
等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．
不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延
续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年
来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培
养思维能力，提高数学解题的技能．
我们先看一个例子．
例 小张带了 5 角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块 3 分，铅笔每支 1 角 1 分，问 5 角钱刚
好买几块橡皮和几支铅笔？
解 设小张买了 x 块橡皮，y 支铅笔，于是根据题意得方程
3x+11y=50．
这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个 x 值，就可以得到一个 y 值，所以
它的解有无数多组．
但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是
正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．
因为铅笔每支 1 角 1 分，所以 5 角钱最多只能买到 4 支铅笔，因此，小张买铅笔的支数
只能是 0，1，2，3，4 支，即 y 的取值只能是 0，1，2，3，4 这五个．
若 y=3，则 x=17/3，不是整数，不合题意；
若 y=4，则 x=2，符合题意．
所以，这个方程有两组正整数解，即
也就是说，5 角钱刚好能买 2 块橡皮与 4 支铅笔，或者 13 块橡皮与 1 支铅笔．
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