数理统计公式大全.docx

数，记为 \( X \)，\( X \)服从二项分布，记为 \( X \sim B(n, p) \)，其中 \( n \)是试验次数，\( p \)是单次试验中事件发生的概率。二项分布的概率质量函数（probability mass function, PMF）为： \[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k=0,1,2,\ldots,n \] 其中 \( \binom{n}{k} \) 是组合数，表示从 \( n \) 个不同元素中取 \( k \) 个元素的组合数。 ### 条件概率和独立事件 条件概率是已知某个事件发生时，另一个事件发生的概率。设事件 \( A \) 和 \( B \) 相互独立，即 \( P(A \cap B) = P(A)P(B) \)，那么事件 \( B \) 在事件 \( A \) 已经发生的条件下发生的概率 \( P(B|A) \) 定义为： \[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \] ### 概率的公理化定义 概率论中的概率定义基于三个公理： 1. \( P(\Omega) = 1 \)，即样本空间的概率为1。 2. 对于任意事件 \( A \)，有 \( 0 \leq P(A) \leq 1 \)。 3. 如果事件 \( A_1, A_2, \ldots \) 彼此互斥（即 \( A_i \cap A_j = \emptyset \) 对所有 \( i \neq j \)），则 \( P(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) \)。 ### 几何概型 在几何概型中，样本空间中的每个基本事件与一个有界区域相对应，事件 \( A \) 的概率由该区域的面积（或其他适当的度量）与总区域的面积之比给出。 ### 独立事件的性质 如果事件 \( A \) 和 \( B \) 相互独立，那么以下性质成立： - \( P(AB) = P(A)P(B) \) - \( P(A|B) = P(A) \) - \( P(B|A) = P(B) \) ### 贝叶斯公式 贝叶斯公式描述了在观测到某些数据后，关于未知参数或事件的概率的后验概率与先验概率之间的关系： \[ P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)} \] ### 伯努利试验与伯努利分布 伯努利试验是只有两个可能结果（成功或失败）的重复独立试验。如果单次试验成功的概率为 \( p \)，失败的概率为 \( q = 1 - p \)，那么 \( n \) 次伯努利试验中成功次数 \( X \) 遵循伯努利分布，其概率质量函数为： \[ P(X=k) = C_n^k p^k q^{n-k} \] ### 连续型随机变量 连续型随机变量 \( X \) 的概率密度函数 \( f(x) \) 定义为： \[ P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx \] 概率密度函数 \( f(x) \) 必须满足 \( f(x) \geq 0 \) 且 \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 \)。 这些是数理统计中的一些基本概念和公式，涵盖了随机事件的概率计算、概率的公理化定义、独立事件、条件概率、几何概型、二项分布以及连续型随机变量等。在统计分析和数据分析中，这些基础知识至关重要。